Für die Hauptachsentransformation schreibst du erstmal die Gleichung in Vektorform.
\(3x^2+4xy+3x-4y-5=0 \Rightarrow \vec x^T*A* \vec x+u^T \vec x -5=0\) mit 
\(\vec x^T = (x_1,x_2)\); \(A=\begin {pmatrix} 3 & 2\\ 2 &0 \end {pmatrix}\) ; \(u^T=(3,-4)\)
Dann berechnest du die Eigenwerte \(\lambda_i\) und die zugehörigen Eigenvektoren der Matrix A.
Weil die Matrix A symmetrisch ist, gibt es eine orthogonale Matrix S, so dass gilt \(D_A = S^T*A*S\) wobei die Matrix \(D_A\) eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von A ist. Die Matrix S besteht aus den Eigenvektoren der Matrix A.
Damit ergibt sich erstmal eine Transformation von \(\vec x = S* \vec y\) sodass in der Ursprungsgleichung der gemischte Term verschwindet und 
da steht \(\lambda_1*y_1^2+\lambda_2 *y_2^2 +\alpha y_1 +\beta y_2 +\gamma=0\)
Fang mal an mit Eigenwerten und Eigenvektoren.