Wie beweise ich die Stetigkeit einer Koordinatenfunktion?

Aufrufe: 1070     Aktiv: 09.03.2021 um 18:44
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Hallo Zusammen

Ich müsste folgende Aufgabe beweisen:

Sei \(X \subset \mathbb{R}\) und \(f: X \rightarrow \mathbb{R}^m\)
Seien \(f_1,...f_m: X\rightarrow \mathbb{R}\) die  Koordinatenfunktionen zu f, also \(f(x)=(f_1(x),...,f_m(x))\).
Zu zeigen: \(f\) ist stetig \(\Leftrightarrow\) \(\forall 1 \leq k \leq m\) gilt, dass \(f_k\) stetig ist.

Ich hätte a wie folgt gemacht, darf man das ?
Ps: Wir hatten das Folgenkriterium für die Stetigkeit.



Vielen Dank wenn ihr euch das anschauen könntet.
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1 Antwort
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Wenn "coordinate criterium for convergence" das ist, was ich denke, dann ist die Aussage mehr oder weniger trivial und Du kannst beide Richtungen auf einmal nachweisen (mit \(\iff\)-Umformungen).
Zu Deinem Weg. Welche Metrik d legst Du zugrunde? Es gibt viele und es gilt nicht für alle Metriken, dass \(|a-b|\le d(a,b)\).
Eigentlich arbeitet man im R^n nicht mit Metriken, da hat man ja Normen, die alle äquivalent sind (was viel bequemer ist). Und dann kann man mit der max-Norm arbeiten.
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Also dieses Kriterium ist das, dass wenn man den Limes einer Koordinatenfolge nimmt, so ist dies gleich dem Limes der einzelnen Koordinaten. Ja also ich hätte die Euklidische Metrik genommen für den Abstand, da wir die max-Norm nicht eingeführt haben.
Heisst das nun mein Weg ist falsch?   ─   karate 09.03.2021 um 14:49
Also wenn ich das nun richtig verstanden habe kann ich es wie folgt abkürzen:
Sei \(x^{(n)}\) eine Folge in X mit \(x^{(n)}\rightarrow x\) und \(x^{(n)} \neq x\) dann gilt \(lim_{n\rightarrow \infty}f_i(x^{(n)})=f_i(x), \forall 1 \leq i\leq m\). Aufgrund des CC ist dann auch \(f(x^{(n)})\) konvergent. Es gilt dass \(lim_{n \rightarrow \infty}f(x^{(n)})=(lim_{n \rightarrow \infty}f_1(x^{(n)}),...lim_{n \rightarrow \infty}f_m(x^{(n)})) \stackrel{Annahme}{=} (f_1(x),...,f_m(x))\). So kann ich nun also die andere Seite weglassen, da sie ja im Grundsatz gleich funktionniert wie diese hier einfach Rückwärts gedacht oder?   ─   karate 09.03.2021 um 17:40
ah okei vielen Dank!
   ─   karate 09.03.2021 um 18:44

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