Die Fläche eines Eselsohres - Berechnung des Maximums

Erste Frage Aufrufe: 93     Aktiv: 03.02.2021 um 21:15

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Hallo!
Bin gerade über diese Seite gestolpert und happy, endlich ein Problem loswerden zu können, für das ich einfach nicht den richtigen Ansatz finde.

Also:
Ein normale Eselsohr wird nach innen umgeklappt. Man sieht es von außen nicht, und kann es nur finden, wenn man das Buch durchblättert.

Daher falte ich bei Prospekten (nicht bei Büchern!) ein Eselsohr, das oben heraussteht, so:


Die rechte untere Ecke wird dabei auf einen Punkt an der linken Kante gefaltet.
Die Frage lautet nun: bis zu welcher Höhe h (als Anteil der gesamten Kantenlänge) muss ich die Ecke falten, damit das Eselsohr (grün) maximale Fläche hat?
Klar ist, dass auch die Breite des Blatts dabei zu berücksichtigen ist.
Es gelingt mir einfach nicht, eine Formel für die Fläche des Eselsohrs aufzustellen, deren Maximum dann zu bestimmen wäre.

Kann mir jemand helfen?

Danke im Voraus!
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Weil du noch keine Antwort hast hier meine Überlegungen:
Wenn du die Breite \( b\) des Blattes hast, so kannst du h berechnen durch
\( h= \sqrt{b_{1}^{2}-b_{2}^{2}}\) wobei \( b_{1} \) die Hypothenuse des Dreiecks links unten ist und \( b_{2} \) die rechte Kathete und es muss gelten \( b_{1}+b_{2} =b \), da diese der unteren Seite des Blattes entsprechen. bzw du kannst durch ein gegebenes h wenn du \( b_{1} = b-b_{2} \) setzt die zwei anderen Seiten des linken unteren Dreiecks ermitteln.
Damit hast du auch dessen Winkel! Es gelten die üblichen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck.

An der Stelle wo dein Falz an der Unterseite liegt müssen die beiden zum Teil überlappenden Ecken in der Summe einen Winkel von 180° haben. Sie kommen ja von einer glatten Seite! Wenn du also mit obiger Beziehung den Winkel \( \alpha \) rechts im unteren Dreieck ermittelt hast gilt:
\( 180° = \alpha + \beta + \beta \quad \rightarrow \frac{180°- \alpha}{2}= \beta \) 
Wobei Beta der untere Winkel des Falzes ist bzw. der gleich große Winkel, der "Luft" wo der Teil des Papiers mit dem der Falz entsteht vorher war gegenüber.

Ober- und Unterseite des Blattes sind parallel, hier kann man jetzt so Aussagen über Stufen- und Wechselwinkel verwenden. 

Das grüne Dreieck ist auch immer rechtwinklig, da es eine Ecke des Blattes ist.

Ich habe leider nicht Zettel und Stift zur Hand um mir selbst eine Skizze mit all diesen Werten zu machen, aber vielleicht bringt dich irgendetwas weiter ;) 

Viele Grüße, jojoliese

Edit: jetzt hatte ich doch Zettel und Stift und habe mal skizziert welche Angaben du alle durch einfache klassische überlegungen ermitteln kannst. Das sind zu viele Angaben, du brauchst nicht alle und du musst dir selbst noch überlegen wie du sie verknüpfst um die Fläche in Abhängigkeit von h aufzustellen und das Extremwertproblem zu lösen! Das nehme ich dir nicht ab ;) 

Wie pipifax sagt, es gibt sicher noch ganz andere Möglichkeiten es zu lösen. Ich würde es so machen

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wenn du einen ganz anderen ansatz hast finde ich es auch immer okay, wenn jemand noch eine ausführliche Antwort schreibt, da es sich dann ja wirklich um noch eine Antwort handelt. Wenn du deine Überlegung ausführen möchtest, kannst du das gern tun! :) ich würde es so wie in meiner Skizze machen und dann eine explizite Form für die Fläche in Abhängigkeit von h aufstellen   ─   jojoliese 03.02.2021 um 11:01

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Danke für die schnelle Antwort!
Habe mal ein bisschen mit deinen Vorschlägen herumprobiert, bin aber noch nicht weit gekommen.
Wie gesagt, das ist nichts Wichtiges, nur ein Alltagsproblem, von dem ich dachte, ich könnte meine hart erworbenen Mathekenntnisse endlich mal wieder gebrauchen. Ich fürchte nur, dass nach 40+ Jahren doch nicht mehr so viel davon übrig ist.
Ich werds aber weiter probieren.
Nochmals danke für die Hilfe!
  ─   janpitb 03.02.2021 um 21:12

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