Heine Borel, Beschränkt

Aufrufe: 56     Aktiv: 02.05.2021 um 16:45

0
Könnte mir jemand in Worten erklären, warum genau K beschränkt ist und wieso ich diese Annahmen stellen kann ?
Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 18

 

Kommentar schreiben

1 Antwort
0

Hallo,

du stellst die Annahme nicht, sondern hier wird ja gezeigt, dass \( K \) beschränkt ist. Es wird hier bewissen, dass

$$ \text{Eine Menge} \ K \subset \mathbb{R}^n \ \text{ist kompakt} \Rightarrow \text{K ist abgeschlossen und beschränkt} $$

Wir fangen also mit einer kompakten Menge \( K \subset \mathbb{R}^n \) an. Diese ist nach eurem Lemma 3.5 abgeschlossen. Wir müssen also nur noch zeigen, dass eine solche kompakte Menge auch beschränkt ist. 
Nun ist ja \( K \) kompakt. Das bedeutet ja nichts anderes, dass es zu jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung gibt, die \( K \) immer noch überdeckt.

Die Bälle um den Nullpunkt bilden eine offene Überdeckung vom \( \mathbb{R}^n \), also insbesondere auch eine von \( K \), da \( K \) ja eine Teilmenge vom \( \mathbb{R}^n \) ist. Also muss es dazu eine endliche Teilüberdeckung geben, die \( K \) überdeckt. 

Wenn wir nun endlich viele Bälle um den Nullpunkt mit verschiedenen Radien vereinigen, was erhalten wir dann? Genau so eine Form hat dann auch die endliche Teilüberdeckung. 

Nun ist diese endliche Teilüberdeckung aber selbst schon beschränkt. Ist dir klar wieso? Mach dir das vielleicht einmal an einem Bild klar. 

Somit ist dann aber \( K \) als Teilmenge dieser endlichen Teilüberdeckung somit auch beschränkt. 

Versuch mal die Lücken die ich aufgelassen haben zu beantworten und dir vor Augen zu führen. Falls noch etwas unklar ist, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian

Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 26.8K
 

Wenn wir nun endlich viele Bälle um den Nullpunkt mit verschiedenen Radien vereinigen, was erhalten wir dann?
Wir erhalten die Vereinigung der Bälle um den Nullpunkt, über eine endliche Menge J Teilmenge R (deshalb wird N gewählt, da N endlich ist und Teilmenge von R ist, und vor allem wird N ohne Null gewählt, da eine Kugel mit dem Radius 0, keine Kugel wäre und somit auch keine Überdeckung mehr)

Wieso ist die endliche Teilüberdeckung selbst beschränkt?
hier bin ich mir etwas unsicher, wie ich das argumentieren kann

  ─   katharinawagner 02.05.2021 um 13:42

Die zweite Frage wird dir denke ich klar, wenn du weißt was bei der Vereinigung von solchen Bällen um den Nullpunkt herauskommt.
Du denkst etwas zu kompliziert gerade. Gucken wir uns das mal im \( \mathbb{R}^2\) an.
Dort ist ein offener Ball um Null, ein Kreis um Null. Zeichne dir mal einen Kreis mit Radius \( 1 \). Dann zeichne dir in das Bild mal einen Kreis mit Radius \(2\) usw.
In so einem Kreis, sind alle Elemente die im inneren des Kreises liegen.
Sagen wir mal, du zeichnest Kreise bis Radius \( 4 \). Wie kannst du diese Vereinigung der 4 Kreise dann beschreiben? Betrachte dazu mal, wie diese Kreise zueinander in Relation stehen.
  ─   christian_strack 02.05.2021 um 15:18

die Vereinigung besteht dann aus den vier Bällen von r=1 bis r=4.
zur Relation: naja jeder Kreis ist zu dem davorrigen Kreis im Radius 1cm größer, dies geschieht im Rn ja endlich. Irgendwann müssen diese Bälle ja dann K umschlossen haben, so dass die Bälle eine art Obermenge zu K sind. Daraus würde dann folgen, dass K beschränkt ist?


Noch eine Frage zu oben:
in dem Skript steht, dass K Teilmenge der Kugeln um Null mit dem radium k mit Kennzeichen eine offene Überdeckung von K ist, ist das aber nicht gerade die endliche Teilüberdeckung? wir haben ja hier die endliche Indexmenge ? ich glaube ich stehe etwas auf dem Schlauch...
  ─   katharinawagner 02.05.2021 um 16:01

Dein zweiter Satz geht in die richtige Richtung.
Zur Vereinigung: Es ist doch der Kreis mit Radius 1 komplett in dem Kreis mit Radius 2 enthalten. Dann ist aber der Kreis mit Radius 2 komplett in dem Kreis mit Radius 3 enthalten usw.
Daraus folgt
$$ \bigcup_{k =1}^n B_k(0) = B_n(0) $$
Wir erhalten also als Vereinigungsmenge einfach den Kreis mit dem größten Radius.
Wie du ja richtig sagst, können wir solange einen größeren Kreis mit hinzunehmen. Irgendwann haben wir die Menge \( K \) umschlossen. Das es eine endliche Anzahl an Kreisen gibt, garantiert uns genau die Kompaktheit. Der letzte Kreis, der \( K \) umschließt ist dann der Kreis \( B_{k_0}(0) \) aus dem Beweis. Also anstatt Kreise sind es dann natürlich Bälle, aber die Idee ist die selbe.
Nun wird ja ein Ball so definiert, dass ein bestimmter Abstand zum Mittelpunkt nicht überschritten wird. Und das ist ja gerade die Beschränktheit. Also jeder Ball ist beschränkt, somit ist dann auch \( K \) beschränkt.

Meinst du diesen Ausdruck:
$$ K \subset \bigcup_{k \in \mathbb{N}^*} B_k(0) $$
Hier durchläuft ja \( k \) alle natürlichen Zahlen. Somit haben wir unendlich viele Bälle.
  ─   christian_strack 02.05.2021 um 16:43

Kommentar schreiben