Reihe scheitert beim Quotientenkriterium

Erste Frage Aufrufe: 199     Aktiv: 06.06.2022 um 12:48

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Hallo!

Ich habe die folgende Reihe auf Konvergenz untersucht. Leider kommt 1 heraus: 


Ich komme leider nicht auf ein Ergebnis. Kann jemand helfen?

LG und danke schonmal!
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Punkte: 20

 

Bruchstriche sind so lang, wie der längste Term im Zähler oder Nenner. Ansonsten ist das sehr missverständlich, ob die $4^n$ zum Nenner gehört oder hinter dem Bruch steht!   ─   cauchy 02.06.2022 um 02:10
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Ich würde das Minorantenkriterium verwenden, da die Aufgabe optisch verlangt dass du (2n)!/(n!n!)= 2n choose n benutzt. Dann kannst du mit der Stirlingsformel abschätzen, dass (2n)!/n!n!~ 2^(2n)/sqrt(n*pi), d.h. dass 4^-n löst sich auch auf und es bleibt 1/sqrt(n*pi). Diese Reihe divergiert bekanntlich. Da du das asymptotische Verhalten bei der Abschätzung nutzt, gibt es dann auch eine divergente Minorante.
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Punkte: 30

 

Es geht natürlich einfacher mit dem Kriterium von Raabe, wenn du weiter vereinfachst zu |(a_n+1)/(a_n)|=1-1/(2(n+1)).   ─   woody7 03.06.2022 um 18:26

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Die (Stirling'sche) Abschätzung ist hier nicht ganz korrekt angewendet: Man müsste, wenn man z.B. eine divergente Minorante sucht, für (...)! oberhalb des Bruchstrichs eine untere Abschätzung, und für (...)! unter dem Bruchstrich eine obere Abschätzung für n! angeben. (für konvergente Majoranten dann natürlich umgekehrt). Was hätte man von einer divergenten Reihe, wenn diese nicht auch garantiert eine Minorante wäre?

Das Ergebnis könnte stimmen, aber ohne die etwas kompliziertere Rechnung mit oberer und unterer Abschätzung ( https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation - die Zeile vor dem "Contents"-block) wäre es eben ein "Zufallstreffer".
  ─   mathe42 05.06.2022 um 22:16

Verstehe ich nicht ganz was du meinst. Die Abschätzung 2n choose n ~ 2^(2n)/sqrt(n*pi) ist ja bekannt, und aus der Definition der Asyomtomatik folgt, dass c und n_0 existieren, mit 2^(2n)/sqrt(n*pi)>=c*2^(2n)/sqrt(n*pi) für alle n>=n_0. Also für n>=n_0
(4^-n)*2n choose n >= c*2^(2n)/sqrt(n*pi)*4^-n= c* 1/sqrt(n*pi) und diese Reihe divergiert.
  ─   woody7 06.06.2022 um 12:15

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@woody7: Was Du "Abschätzung" nennst, ist eine Schätzung, die hier - siehe Kommentar von mathe42 - nicht hilft. Man braucht für Maj/Min-Kriterium nachgewiesene Abschätzungen nach oben bzw. unten, keine Schätzungen.   ─   mikn 06.06.2022 um 12:48

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