Hallo mikrokjaro0.

mir gefällt es, dass du genau nachfragst! :-)

Es ist absolut erlaubt, (gegeben eine natürliche Zahl $n\ge 1$) die Abschätzung $\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{i}}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{i}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ vorzunehmen!

Eine andere Frage ist, ob diese Abschätzung beim vorliegenden Beweis weiterhelfen würde, das Ziel (Nachweis von $\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{i}}>\sqrt{n+1}$) zu erreichen.

Deinem versuchten Kehrwertargument kann ich nicht folgen: Warum sollte aus der gezeigten Ungleichung $\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{i}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ die gewünschte Ungleichung $\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{i}}>\sqrt{n+1}$ folgen?

Möglich wäre, aus $\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{i}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ durch Kehrwertbilden unter Beachtung, dass beide Seiten >0 sind, auf $\frac{1}{\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{i}}}<\sqrt{n+1}$ zu schließen.
Ich glaube nicht, dass dies beim Beweis von $\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{i}}>\sqrt{n+1}$ helfen wird, aber eine gültige Schlussfolgerung wäre es.

Viele Grüße
Tobias

Wie @zest schreibt, machst du den gesamten Ausdruck/Bruch kleiner, indem du im Zähler etwas Positives weglässt. Du machst also den Zähler kleiner, wodurch der gesamte Bruch kleiner wird.