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Hi wir lernen gerade neu Beweise und ich kapiere eine Sache nicht, ich sehe z. B. auch, dass wenn ich bei der Stelle, wo ich das n entfernt habe, ich das n entferne, dass der folgende Term kleiner wird, als der aktuelle, das zu sehen ist nicht das Problem.

Mein Problem ist, warum darf man in der Mathematik einfach Sachen entfernen in einer Gleichung und das zählt dann als Beweis?

Beispielsweise, mein Hauptziel ist es ja zu zeigen, dass meine Sumem ganz oben links größer als Wurzel(n+1) ist. Wenn man einfach Sachen löschen dürfte, könnte ich doch schon in der aller ersten Zeile alles entfernen bis auf das Wurzel(n+1), aber das ist nicht erlaubt, aber unten das n zu entfernen ist dann widerum erlaubt? Warum? Also warum darf ich Sachen entfernen udn woher weiß ich, wann ich das machen darf, ohne das der Prof z. B. sagt, warum hast Du das einfach entfernt?

EDIT vom 10.01.2022 um 21:33:


 
Mir ist natürlich klar, man soll abschätzen. Man sagt z. B. man entfernt das n und hat dadurch eine valide Umgleichung erschaffen. Aber man könnte auch argumentieren, dass man direkt in der ersten Zeile einfach die Summe bei der rechten Seite entfernt, dann den Bruch umdreht und direkt Wurzel(n+1) hat, dass wäre auch eine valide umgleichung, aber nicht ein gültiger Beweis, weil ich zu "viel" etnferne, aber woher weiß ich, wann ich wie viel entfernen darf?   Weil die Sache ist ja ganz klar, ich könnte odch bei der ersten Zeile auch schon argumentieren, dass meine linke Seite äquivalent zur rechten Seite ist. Wenn ich da jetzt, bei der linken Seite die Summe entfernen würde, so hätte ich links nur noch stehen 1/Wurzel(1+n) und das muss kleiner sein als meine linke Seite, dann kann ich noch den Bruch umdrehen auf der rechten Seite und ich habe in der ersten Zeile bewiesen, dass meine Summe größer ist, als Wurzel(n+1), aber warumd arf ich das so nicht machen?
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Da wird nichts aus der Gleichung entfernt, sondern es wird nach unten abgeschätzt.   ─   zest vor 6 Tagen, 19 Stunden

Genau, nennen wir es abschätzen.

Wenn wir uns gemeinsam die zweite Zeile anschauen, warum darf ich da nicht abschätzen, dass ich das Wurzel(n) weg denke, dann vom übrig gebliebenen 1 / wurzel(n+1) den Kehrwert bidle und direkt wurzel(n+1) habe?
  ─   mikrokjaro0 vor 6 Tagen, 18 Stunden

Weil du nicht einfach den Kehrwert bilden darfst. Außerdem würde durch die Kehrwertbildung dein Term wieder größer werden. Bei einer Ungleichungskette darfst du aber nur in eine Richtung abschätzen.   ─   cauchy vor 6 Tagen, 18 Stunden

Achsoooo, ich darf nicht zurück hoch schätzen, ja dann ist es klar...

(Aber nur aus Interesse, warum dürfte ich den Kehrwehrt nicht bilden? Wenn ich z. B. stehen hätte (Wurzeln(+1))/1, da wäre der Kehrwert ja geringer ode rnicht?
  ─   mikrokjaro0 vor 6 Tagen, 18 Stunden

Du rechnest aber allgemein mit $n$. Du willst ja zeigen, dass es für alle $n$ gilt und nicht für ein konkretes Zahlenbeispiel. Beim Abschätzungen muss die Abschätzung natürlich immer für alle Werte gelten (wenn Variablen vorkommen).   ─   cauchy vor 6 Tagen, 18 Stunden

Genau, aber wo ist der Kehrwert da dagegen, dass es für alles gilt?   ─   mikrokjaro0 vor 6 Tagen, 17 Stunden

Ich mein ich drehe ja das n und nicht eine nromale zahl   ─   mikrokjaro0 vor 6 Tagen, 17 Stunden

Ich weiß nicht, worauf du jetzt hinaus willst...   ─   cauchy vor 6 Tagen, 16 Stunden
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Hallo mikrokjaro0.

mir gefällt es, dass du genau nachfragst! :-)

Es ist absolut erlaubt, (gegeben eine natürliche Zahl $n\ge 1$) die Abschätzung $\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{i}}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{i}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ vorzunehmen!

Eine andere Frage ist, ob diese Abschätzung beim vorliegenden Beweis weiterhelfen würde, das Ziel (Nachweis von $\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{i}}>\sqrt{n+1}$) zu erreichen.

Deinem versuchten Kehrwertargument kann ich nicht folgen: Warum sollte aus der gezeigten Ungleichung $\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{i}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ die gewünschte Ungleichung $\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{i}}>\sqrt{n+1}$ folgen?

Möglich wäre, aus $\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{i}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ durch Kehrwertbilden unter Beachtung, dass beide Seiten >0 sind, auf $\frac{1}{\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{i}}}<\sqrt{n+1}$ zu schließen.
Ich glaube nicht, dass dies beim Beweis von $\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{i}}>\sqrt{n+1}$ helfen wird, aber eine gültige Schlussfolgerung wäre es.

Viele Grüße
Tobias
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Wie @zest schreibt, machst du den gesamten Ausdruck/Bruch kleiner, indem du im Zähler etwas Positives weglässt. Du machst also den Zähler kleiner, wodurch der gesamte Bruch kleiner wird.
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Richtig, und ich meine warum, darf ich nicht in der ersten Zeile abschätzen? Ich weiß doch, dass beispielsweise bei der zweiten Zeile wo ich habe Wurzel(n) +1/(wurzel n+1) das dieser Ausdruck kleiner ist als mein linker Term, ich kann doch auch abschätzen, dass ich bei der zweiten Zeile das wurzel(n) entferne und dann meinen Bruch 1/wurzel(n+1) einfach umdrehe, also den kehrwert nehme, so komme ich doch auch direkt auf wurzel(n+1), aber warum ist sowas nicht legitim?   ─   mikrokjaro0 vor 6 Tagen, 18 Stunden

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