Ich bin gerade in der Klausurvorbereitung habe habe eine Aufgabe aus einer Altklausur, die mir Probleme bereitet. Ich möchte \(\int \limits_{K} z d K\) berechnen,
wobei
$$K=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid r \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \leq R\right\}$$
für Konstanten \( 0<r<R \).

Ich transformiere das ganze mit Kugelkoordinaten, also:
$\phi(r, \varphi, \theta) = (r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \theta) $
Dann folgt:
$r \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \leq R \Rightarrow r \leq \sqrt{r^2} \leq R \Rightarrow r \leq R$, da $r \in ]0, \infty[ $ und $r < R$ ist also $r \in ]0,R[$.

Wie komme ich jetzt an die anderen Grenzen für $ \varphi$ bzw. $ \theta$? Das Problem ist, wenn ich für $ \varphi$ und $ \theta$ einfach die "Standardgrenzen" $]0, 2\pi[$ und $]0, \pi[$ wähle, multipliziere ich später irgenwann mal wegen dem $\theta$ mit 0 und das wirkt auch mich etwas problematisch.