0
Ich bin gerade in der Klausurvorbereitung habe habe eine Aufgabe aus einer Altklausur, die mir Probleme bereitet. Ich möchte \(\int \limits_{K} z d K\) berechnen,
wobei
$$K=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid r \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \leq R\right\}$$
für Konstanten \( 0<r<R \).

Ich transformiere das ganze mit Kugelkoordinaten, also:
$\phi(r, \varphi, \theta) = (r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \theta) $
Dann folgt:
$r \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \leq R \Rightarrow r \leq \sqrt{r^2} \leq R \Rightarrow r \leq R$, da $r \in ]0, \infty[ $ und $r < R$ ist also $r \in ]0,R[$.

Wie komme ich jetzt an die anderen Grenzen für $ \varphi$ bzw. $ \theta$? Das Problem ist, wenn ich für $ \varphi$ und $ \theta$ einfach die "Standardgrenzen" $]0, 2\pi[$ und $]0, \pi[$ wähle, multipliziere ich später irgenwann mal wegen dem $\theta$ mit 0 und das wirkt auch mich etwas problematisch.
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 28

 

1
Wozu dieses "dann folgt"? Dass $r \in \,]0; R[$ sieht man sofort an der Definition von $K$.   ─   cauchy 22.07.2022 um 17:23
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Du musst die Grenzen so wählen, dass es eben die gewünschte Kugel wird. Danach rechnet man. Man zweifelt nicht an den Grenzen, nur weil am Ende was problematisches rauskommt. Es kann dann ein Problem im Rechenweg sein, es kann aber auch sein, dass alles richtig ist und das Ergebnis nur problematisch scheint.
Vgl auch folgende Frage https://www.mathefragen.de/frage/q/d6c309f49e/transformationsformel-rechenweg-kontrollieren/
aber Vorsicht, das hat keiner genau kontrolliert (und der Frager schien auch nicht weiter interessiert).
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 26.65K

 

Der fundamentale Unterschied zu der verlinkten Aufgabe scheint mir, dass der andere Frager noch eine zusätzliche Bedinung $z \geq 0$ gegeben hatte, darüber könnte ich natürlich auch eine Grenze für $\theta$ errechnen. Der andere Frager hatte auch nicht bedachtm dass $\theta \in ]0,\pi[$, also sein Definitionsbereich zu weit gefasst war. Ich finde die andere Frage jetzt für mein Problem nicht sonderlich hilfreich, da eben diese Bedinung bei mir gar nicht gegeben ist. Ein Freund von mir hat die Auffgabe unabhängig von mir berechnet und stößt halt später auf das selbe "Problem". Ich persönlich finde halt 0 als Lösung mathematisch möglich, didaktisch eher unwahrscheinlich. Ich bräuchte halt für die Klausur auch irgendwo einen Ansatzpunkt, ob ein Ergebnis stimmen kann, oder eben nicht.   ─   ax.ela.n 22.07.2022 um 14:35

Ich hab auch nicht gesagt, dass die andere Lösung genau Deine Aufgabe ist. Aber der Frager hatte die gleiche Funktion zu integrieren und kam auch auf das Ergebnis 0 und es wunderte ihn auch.
Ich hab ja oben das Vorgehen erklärt, Deine Rechnung kenne ich nicht (solange Du sie nicht hochlädst zur Kontrolle), also nochmal die Frage: Was ist das Problem mit dem Ergebnis 0? Bei Aufgaben ist stets die mathematisch richtige Lösung gefragt. Die Frage von didaktisch sinnvolle Aufgaben/Ergebnisse stellt sich für den Aufgabenlöser nicht.
  ─   mikn 22.07.2022 um 15:15

Kommentar schreiben