Integralsgrenzen nach Parametertransformation bestimmen

Aufrufe: 344     Aktiv: 22.07.2022 um 17:23

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Ich bin gerade in der Klausurvorbereitung habe habe eine Aufgabe aus einer Altklausur, die mir Probleme bereitet. Ich möchte \(\int \limits_{K} z d K\) berechnen,
wobei
$$K=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid r \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \leq R\right\}$$
für Konstanten \( 0<r<R \).

Ich transformiere das ganze mit Kugelkoordinaten, also:
$\phi(r, \varphi, \theta) = (r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \theta) $
Dann folgt:
$r \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \leq R \Rightarrow r \leq \sqrt{r^2} \leq R \Rightarrow r \leq R$, da $r \in ]0, \infty[ $ und $r < R$ ist also $r \in ]0,R[$.

Wie komme ich jetzt an die anderen Grenzen für $ \varphi$ bzw. $ \theta$? Das Problem ist, wenn ich für $ \varphi$ und $ \theta$ einfach die "Standardgrenzen" $]0, 2\pi[$ und $]0, \pi[$ wähle, multipliziere ich später irgenwann mal wegen dem $\theta$ mit 0 und das wirkt auch mich etwas problematisch.
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Du musst die Grenzen so wählen, dass es eben die gewünschte Kugel wird. Danach rechnet man. Man zweifelt nicht an den Grenzen, nur weil am Ende was problematisches rauskommt. Es kann dann ein Problem im Rechenweg sein, es kann aber auch sein, dass alles richtig ist und das Ergebnis nur problematisch scheint.
Vgl auch folgende Frage https://www.mathefragen.de/frage/q/d6c309f49e/transformationsformel-rechenweg-kontrollieren/
aber Vorsicht, das hat keiner genau kontrolliert (und der Frager schien auch nicht weiter interessiert).
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Der fundamentale Unterschied zu der verlinkten Aufgabe scheint mir, dass der andere Frager noch eine zusätzliche Bedinung $z \geq 0$ gegeben hatte, darüber könnte ich natürlich auch eine Grenze für $\theta$ errechnen. Der andere Frager hatte auch nicht bedachtm dass $\theta \in ]0,\pi[$, also sein Definitionsbereich zu weit gefasst war. Ich finde die andere Frage jetzt für mein Problem nicht sonderlich hilfreich, da eben diese Bedinung bei mir gar nicht gegeben ist. Ein Freund von mir hat die Auffgabe unabhängig von mir berechnet und stößt halt später auf das selbe "Problem". Ich persönlich finde halt 0 als Lösung mathematisch möglich, didaktisch eher unwahrscheinlich. Ich bräuchte halt für die Klausur auch irgendwo einen Ansatzpunkt, ob ein Ergebnis stimmen kann, oder eben nicht.   ─   ax.ela.n 22.07.2022 um 14:35

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