Hallo evatsigkana,

die Injektivität ist schnell gezeigt. Sei \(f\) eine Abbildung mit \(f: M \to \mathcal{P}(M)\) mit \(x \mapsto \{x\}\). Diese Abbildung existiert für alle \(x\), damit ist sie injektiv.

Für die Bijektivität nutzt du den Satz, dass die Kardinalität beider Mengen, also der Definitions- und Bildmenge, gleich sein muss. Denn für Bijektivität ist es notwendig, dass du für jedes \(x\) aus \(M\) ein eindeutiges Element aus \(\mathcal{P}(M)\) zuordnen kannst. Das geht logischerweise nicht mehr, wenn \(\mathcal{P}(M)\) ein oder mehr (bzw. eins oder weniger) Elemente besitzt wie \(M\). Für diesen Beweis fangen wir mit einer Annahme an.

Sei \(f\) eine Abbildung mit \(f: M \to \mathcal{P}(M)\) surjektiv und \(A := \{ m \in M\ |\ m \notin f(m)\}\).

Da \(f\) surjektiv ist, gilt

\(\exists m \in A\) mit \(f(m) = A\)

Daraus folgt diese Äquivalenz:

\(m \in A \iff m \notin f(m) \iff m \notin A\)

Dies ist ein Wiederspruch, deshalb kann \(f\) nie surjektiv sein.

Ich hoffe das hat dir weitergeholfen.