Potenzmenge, injektive und bijektive Abbildungen

Aufrufe: 5051     Aktiv: 09.06.2019 um 14:18

1

Hallo Power-Mathematiker!

Ich habe eine Uni-Aufgabe, die ziemlich schwer für mich ist.

Es sei M eine beliebige Menge und P(M) ihre Potenzmenge. Zeigen Sie, dass es immer eine injektive Abbildung von M in

P(M) gibt, aber niemals eine bijektive Abbildung. (Hilfe für den zweiten Teil: nehmen Sie an, das f: M --> P(M) eine

bijektive Abbilfung sei, und leiten Sie einen Widerspruch her. Betrachten Sie hierzu die Menge A:= {mΕΜ | m E(mit Strich,

kann ich von Tastatur nicht eingeben,d.h. gehört nicht)f(m)} und nutzen Sie aus, dass diese Menge als Bild eines

Elements α aus M unter f auftreten muss.)

 

Wer kennt sich aus und kann diese Aufgabe ganz einfach erklären???

DANKE vielmals.

Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 50

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0

Hallo evatsigkana,

die Injektivität ist schnell gezeigt. Sei \(f\) eine Abbildung mit \(f: M \to \mathcal{P}(M)\) mit \(x \mapsto \{x\}\). Diese Abbildung existiert für alle \(x\), damit ist sie injektiv.

Für die Bijektivität nutzt du den Satz, dass die Kardinalität beider Mengen, also der Definitions- und Bildmenge, gleich sein muss. Denn für Bijektivität ist es notwendig, dass du für jedes \(x\) aus \(M\) ein eindeutiges Element aus \(\mathcal{P}(M)\) zuordnen kannst. Das geht logischerweise nicht mehr, wenn \(\mathcal{P}(M)\) ein oder mehr (bzw. eins oder weniger) Elemente besitzt wie \(M\). Für diesen Beweis fangen wir mit einer Annahme an.

Sei \(f\) eine Abbildung mit \(f: M \to \mathcal{P}(M)\) surjektiv und \(A := \{ m \in M\ |\ m \notin f(m)\}\).

Da \(f\) surjektiv ist, gilt

\(\exists m \in A\) mit \(f(m) = A\)

Daraus folgt diese Äquivalenz:

\(m \in A \iff m \notin f(m) \iff m \notin A\)

Dies ist ein Wiederspruch, deshalb kann \(f\) nie surjektiv sein.

Ich hoffe das hat dir weitergeholfen.

Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 142

 

TAusend Dank banachraum!

Was bedeutet;

\ (x \mapsto \{x\}\)

Ich bin ziemlich Anfängerin und brauche lang...

DANKE DIR!

Eva
  ─   evatsigkana 09.06.2019 um 15:11

Habe es verbessert, da hatte ich ein Leerzeichen zu viel. Ist es jetzt klar?   ─   banachraum 09.06.2019 um 15:17

Ja, wunderbar!!!   ─   evatsigkana 09.06.2019 um 15:18

Du kannst davon ausgehen, immer wenn gefragt ist, ob eine Abbildung bijektiv ist, ist meistens der richtige Ansatz zu schauen, ob die Anzahl der Elemente der beiden Mengen gleich ist. Ansonsten zeigen, dass nicht injektiv oder surjektiv.   ─   banachraum 09.06.2019 um 15:21

Danke sehr!!! Es folgt eine weitere Frage...   ─   evatsigkana 09.06.2019 um 16:20

Kommentar schreiben