Schnittmenge zweier Vektorräume

Aufrufe: 123     Aktiv: 30.11.2023 um 10:15

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Ich habe folgende Vektorräume:

V = ⟨v1,v2⟩            mit v1=(1,2,-1,0) und v2=(0,1,-1,-2)
W = ⟨w1⟩               mit w1=(1,1,0,2)

Ich soll nun die Basis und die Dimension vom Schnitt dieser beiden Vektorräume angeben und zudem sagen, ob die Summe der beiden VR eine direkte Summe ist.
Die direkte Summe existiert ja nur, wenn der Schnitt nur den Null Vektor enthält.
Da ich den Vektor w1 durch v1-v2 darstellen kann, weiß ich, dass w1 in der durch v1 und v2 aufgespannten Ebene liegt.
Heißt das, dass w1 nun die Ebene schneidet und somit der Schnitt nicht nur den Nullvektor enthält?
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Die direkte Summe existiert immer! Sie induziert eine Surjektion \(V\oplus W\to V+W \to 0\). Die Frage ist, ob dies ein Isomorphismus, was konkret bedeutet, dass der Schnitt von \(V\) und \(W\) trivial ist.   ─   mathejean 30.11.2023 um 10:15
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w1 schneidet nicht die Ebene V, sondern ist ein Element von ihr. Und statt "Schnitt" solltest Du besser von "Schnittmenge" reden. Ansonsten ist alles richtig, was Du sagst.
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