Oberflächenintegral 1. Art, parametrisierte Flächen im R3

Aufrufe: 1503     Aktiv: 21.02.2020 um 00:17
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Die Aufgabe bezieht sich auf ein räumliches Flächenstück S:

Bis Aufgabe c), also der Berechnung des Normalenvektor n(x,y) aus dem Kreuzprodukt habe ich keine Probleme und die stimmen auch mit der Kurzlösung überein. Allerdings bereitet mir das Oberflächenintegral Kopfzerbrechen.

Die Fläche F(S) berechne ich mit der Annahme f(x,y) = 1, bleibt also \(\sqrt{y^2+1}\) im Integral als Betrag des Normalenvektors über.

Mein Ergebnis ist \(2\sqrt{2}\), da der arsinh puntsymmetrisch zum Ursprung ist. Allerdings ist die Lösung (auch über Integralrechner bestimmt) noch um den arsinh(3) in der Gestalt als ln-Funktion erweitert. Jetzt meine Frage: Wo genau ist hier in meinem Doppelintegral der Rechenfehler bzw. woher bekommt der arsinh(y) in der Lösung als Argument den Wert 3?

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Hallo,

vielleicht wurde hier \( \mathrm{arsinh} \) mit \( \mathrm{arcosh} \) verwechselt, denn durch die Punktsymmetrie gilt

$$ -f(-x) = f(x) $$

also

$$ -\mathrm{arsinh}(-1) = \mathrm{arsinh}(1) $$

und somit

$$ 2\sqrt{2} + \mathrm{arsinh}(1) - \mathrm{arsinh}(-1) = 2\sqrt{2} + 2\mathrm{arsinh}(1) $$

Desweiteren gilt

$$ 2\mathrm{arsinh}(1) = 2 \ln(1 + \sqrt{1^2 +1}) = \ln((1+\sqrt{2})^2) = \ln(1 + 2 \sqrt{2} + 2) = \ln(3 + \sqrt{8}) = \ln(3 + \sqrt{3^2 -1}) = \mathrm{arcosh}(3) $$

denn

$$ \mathrm{arcosh}(x) = \ln(x+\sqrt{x^2-1}) $$

Grüße Christian

 

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