Hallo,

wenn du die partiellen Ableitungen bildest, dann erhälst du hier eine Gleichung nur mit \( x \), eine mit \( x \) und \( y \) und eine mit allen 3 Variablen,

Für die nur mit \( x \), erhalte ich 

$$ x = - \frac 1 2 $$

Wenn wir das dann in die mit \( x \) und \( y \) einsetzen, erhalten wir für \(y \)

$$ y^2 = \frac 1 6 \Rightarrow y = \pm \sqrt{\frac 1 6 } $$

Jetzt kannst du in die Gleichung mit allen 3 Variablen den Wert für \( x \) einsetzen und beide Kandidaten für \( y \). Du erhälst hier also zwei Fälle. Daraus ergeben sich dann zwei kritische Punkte

$$ P_1(-\frac 1 2 | \sqrt{\frac 16} | ? ), \quad P_2(-\frac 1 2 | - \sqrt{\frac 1 6} | ? ) $$

Um nun zu überprüfen welche Punkte Minima sind, musst du die Hesse Matrix bestimmen. Wenn du den Punkt einsetzt und die Matrix positiv definit ist, dann liegt ein Minimum vor. Ist sie negativ definit, liegt ein Maximum vor.
Bei Indefinitheit liegt ein Sattelpunkt vor.

Bei semi-Definitheit müssen andere Kriterien zu Rate gezogen werden. 

Versuch dich mal. Wenn du nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian