Alle konvergenten Teilfolgen finden

Erste Frage Aufrufe: 112     Aktiv: 29.12.2022 um 18:28

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Aufgaben:
 
(a) Finden Sie alle konvergenten Teilfolgen der Folge
 
1, −1, −1, 1, 1, 1, −1, −1, −1, −1, 1, 1, 1, 1, 1, . . . .
 
 
(b) Finden Sie alle konvergenten Teilfolgen der Folge
1, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, . . . .
 
 
(c) Für welche reellen Zahlen α gibt es eine Teilfolge der Folge
1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 2/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5,....
 
die gegen α konvergiert?c (Hier auch ein kurzer Beweis gefordert)
 
 
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  ─   mikn 22.12.2022 um 10:32
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1 Antwort
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Hallo,

ohne eine konkrete Bildungsvorschrift kann ich hier zwar nur raten, aber sei es drum.
Bei a.) sieht es so aus als hättest du einen Häufungspunkt bei 1 und -1.
Und nach dem Muster würde ich davon ausgehen, dass es immer nach 1, 2, 3, ... , n Schritten sich alterniert.
Das bedeutet du kannst die Folge der Dreieckszahlen verwenden, um eine Folge zu konstruieren, die immer zwischen 1 und -1 in jedem Schritt springt und dabei stets das letzte Element vor dem Vorzeichenwechsel mitnimmt. Die sehe dann wie folgt aus \(\left(a_{\frac{n(n - 1)}{2}}\right)_{n \in \mathbb{N}_{\geq 1}}\).
Betrachtest du nun mit \(n \leftarrow 2n\) jedes zweite Folgenglied der Teilfolge, erhält einen der Häufungspunkte.
Deine Teilfolgen wären also \(a_{n(2n - 1)} \to 1\) und \(a_{n(2n + 1)} \to -1 \).
Damit kannst du nun weiter arbeiten, beachte aber, dass ich hier bei 1 und nicht bei 0 anfange zu zählen.

b.) sieht für mich zu zufällig aus, als dass ich hier etwas dir sagen könnte.

Bei c.) kannst du eine Abwandlung von Cantors erstem Diagonalargument verwendent und sagen, dass jede rationale Zahl auf dem Intervall [0, 1] getroffen wird. Da die rationalen Zahlen dicht in R sind, ist damit jede rationale Zahl in [0, 1] ein Häufungspunkt. Also ist \(\alpha \in [0, 1]\)

Das weiter auszuformulieren überlasse ich dir. Viel Erfolg!

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