Ungleichung einer Funktion

Aufrufe: 104     Aktiv: 26.08.2021 um 13:08

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Ich versuche folgende Ungleichung zu lösen:

$\\-3< \frac{x^{2}-3}{x+1}\leq 1$

Bisher habe ich versucht, dies mit zwei getrennten Ungleichungen zu lösen, sprich:
$\\-3< \frac{x^{2}-3}{x+1}\\
\text{ergibt: }x(x+3)< 0\\
L=]-\infty,-3[\cup ]0,+\infty[\\
\text{ }\\
\text{sowie: }\frac{x^{2}-3}{x+1}\leq 1\\
\text{ergibt: }x^{2}-x-4\leq 0\\
L=[\frac{1-\sqrt{17}}{2},\frac{1+\sqrt{17}}{2}]
$
Das ist aber absolut die falsche Vorgehensweise und ergibt keinen Sinn.

Könnt Ihr mir eine korrekte Vorgensweise erklären? Die Antwort kann ich selber errechnen.

Vielen Dank Euch allen.

Nach den beiden ersten Antworten unten schreibe ich hier noch einen Zusatz:


Das ist die grafische Darstellung mittels Geogebra.

Wenn ich meine Wertebereiche zusammenfasse, erhalte ich: $L=]0,\frac{1+\sqrt{17}}{2}]$, es fehlt aber der Bereich $L=]-3,\frac{1-\sqrt{17}}{2}]$

Mache ich einen Rechen- oder Denkfehler irgendwo?

Nochmals vielen Dank.

 

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3 Antworten
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Mal eine andere Idee zum Vorgehen:
$$
-3<\frac{x^2-3}{x+1}\overset{|+3}{\Longleftrightarrow} 0< \frac{x^2+3x}{x+1}
$$
Der Bruch ist kleiner Null, wenn Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen haben. Also jeweils Nullstellen von Parabel und Gerade, und dann Intervalle aufstellen für die Vorzeichenwechsel.

Für die andere Grenze subtrahierst Du 1 und machst das gleiche.

Die Schnittmenge ist die Lösung...
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Ja, passt genau. Vielen Dank.
Ps: Das hätte ich eigentlich ohne Hilfe schaffen müssen. ;-)
  ─   lefagnard 26.08.2021 um 13:07

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\(-3<\frac{x^2-3}{x+1}\iff -3x-3<x^2-3\iff x^2+3x=x(x+3)>0\) für \(x>-1\), also \(x>0\)
\(-3<\frac{x^2-3}{x+1}\iff -3x-3>x^2-3\iff x^2+3x=x(x+3)<0\) für \(x<-1\), also \(-3<x<-1\)
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Lehrer/Professor, Punkte: 4.2K

 

Hallo gerdware,
deine Berechnung ist korrekt, da habe ich mich bei der ersten Ungleichung verrechnet.
allerdings fehlt noch was: Es geht ja hier darum, einen Bereich der Gültigkeit zu finden, wobei die Funktion > -3 und <= 1 ist. Also alle Werte von x, begrenzt dadurch.
Da ich auf eine Frage nicht selber antworten kann, habe ich meine Frage oben vervollständigt und versucht, mein Verständnis der Fragestellung zu erklären.
Vielleicht kannst Du ja noch einmal darüber schauen.
Vielen Dank.
  ─   lefagnard 25.08.2021 um 14:25

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Was ergibt keinen Sinn? Es müssen natürlich beide Lösungsbereiche zusammengefasst werden, also ein gemeinsamer Bereich ermittelt.
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selbstständig, Punkte: 9.03K

 

Hallo monimus,
ja, das hatte ich auch bereits so gesehen.
Dabei finde ich aber nicht alle Bereiche wie es scheint. Siehe oben meinen Zusatz.
Vielen Dank für Deine Antwort.
  ─   lefagnard 25.08.2021 um 14:30

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I


Bei der Rechnung fehlt eine Fallunterscheidung, da du wenn du mit (x-1) multiplizierst sich für x<1 die Ungleichzeichen umdrehen
  ─   monimust 25.08.2021 um 15:06

Ja genau, das hatte ich nicht berücksichtigt   ─   lefagnard 26.08.2021 um 13:08

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