Question

Bestimmen der Ableitung durch Grenzwert des Differenzenquotienten

Aufrufe: 378 Aktiv: 14.01.2021 um 21:27

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Guten Abend,

Ich soll die Ableitung der im Bild stehenden Funktion bilden, indem ich den Grenzwert des Differenzenquotienten bestimme. Um den Grenzwert zu bilden, habe ich erst den Differenzenquotienten mit der "h-Methode" gebildet und anschließend vereinfacht durch Umformung, ausmultiplizieren, ausklammern, etc.. nun bin ich auf einen Grenzwert von 2*x-2 gekommen, da ich mir deswegen unsicher war, haben ich noch verschiedene andere Rechenwege probiert und bin immer wieder auf dieses Ergebnis gekommen, ich habe auch eine Fallunterscheidung gemacht für |x-1| < 0 und |x-1| > 0 und trotzdem das selbe Ergebnis. Jedoch zeigen mir alle Onlinerechner die ich zur Überprüfung genutzt habe, ein anderes Ergebnis an, diese Rechner berechnen zwar immer die Ableitung und nicht den Grenzwert, aber eigentlich ist der Grenzwert doch die Ableitung, wenn ich es richtig verstanden habe. Deshalb frage ich nun nochmal in diesem Forum nach ob hier jemand etwas dazu sagen kann, oder mir ggf. einen Tipp geben kann ob das Ergebnis richtig ist oder nicht.

PS: meinen verschiedenen Rechenwege lade ich hier aufgrund der Länge von diesen nicht mit hoch, ich hoffe es kann trotzdem jemand was mit meinem Fragentext anfangen.

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gefragt 14.01.2021 um 21:15

anonymc1cc3
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1 Antwort

stal · Answer 1 · 2021-01-14T21:27:24Z

Dein Ergebnis ist definitiv falsch. Für $x<1$ gilt $f(x)=-(x-1)^2$ und deshalb muss das Ergebnis hier $f(x)=-2(x-1)$ sein. Eine Fallunterscheidung $x<1,x>1$ und $x=1$ ist auf jeden Fall der richtige Ansatz.

Für $x>1$ kannst du o.E. annehmen, dass $|h|<x-1$, da du sowieso $h\to 0$ betrachten willst. Dann gilt $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h-1)^2-(x-1)^2}{h}=\ldots\xrightarrow{h\to 0}2(x-1).$$ Der Fall $x<1$ funktioniert analog, nur ist hier dann $f(x)=-(x-1)^2$.

Für $x=1$ musst du die Grenzwerte für $h\searrow0$ und $h\nearrow0$ getrennt betrachten, da die Funktionsterme links und rechts von der 1 unterschiedlich sind. Zeige, dass in beiden Fällen der Grenzwert den gleichen Wert hat, dies ist dann auch der Wert der Ableitung.