Du sollst anhand von Rechnungen rpüfen ob die Abb. linear ist (ist sie wohl möglich nicht, da du Gegenbeispiele durchrechnest.

Setze deine \(v_1, v_2\) in deine Abbildung ein, also hast du f(\(v_1\)) = \(\begin{pmatrix}
112+4^{2}\\ -2\cdot 4\cdot 1+1^{3}
\end{pmatrix}\) = ... und f(\(v_2\)) = \(\begin{pmatrix}
112+14^{2}\\ -2\cdot 14\cdot 4+4^{3}
\end{pmatrix}\) = ...

Das selbe Spiel für f(\(v_1+v_2\)) = ...

Bei der Skalarmultiplikation sollte kein Problem sein.

Dann prüfst du mit deiner Ergebnissen, ob deine Abb. linear ist, das bedeutet, ob die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

1. f(\(v_1\)) + f(\(v_2\)) = f(\(v_1+v_2\)) für alle \(v_1,v_2 \in\mathbb{R}^{2}\)

2. \(\lambda\cdot f(v_1) = f(\lambda \cdot v_1)\) für alle \(v_1 \in \mathbb{R}^{2}, \lambda \in \mathbb{R}\)

Soweit verstanden? Prüf das mal nach und dann gucken wir weiter.