Komplexe Integralrechnung

Aufrufe: 1037     Aktiv: 24.06.2021 um 18:49
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Hallo zusammen,

ich beschäftige mich gerade mit der komplexen Integralrechnung und habe dazu folgende Aufgabe:


Die ersten 3 Aufgaben konnte ich sehr einfach über die Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben berechnen. 

$$ f(z) = \frac 1 {2\pi i} \int\limits_{\partial B} \frac {f(\zeta)} {\zeta - z} \mathrm d\zeta , \quad \forall z \in B $$ 

Bei den nachfolgenden Integralen habe ich allerdings meine Probleme. Für die (v) habe ich folgende Idee

$$ \int\limits_{\partial B_2(0)} \frac {z^2 e^z} {z-1001} \mathrm dz = \int\limits_{\partial B_2(0)} \frac {z^3 e^z} {z-1001} \cdot \frac 1 z \mathrm dz $$

Da $ f(z) = \frac {z^3 e^z} {z-1001} $ holomorph ist, müsste dann

$$ = 2\pi i \left( \frac {0^3 e^0} {0-1001} \right) = 0 $$

dabei heraus kommen. Ist das korrekt?

Bei (iv) und (vi) habe ich allerdings ein anderes Problem. Ich habe im Nenner jeweils einen Linearfaktor von einem Punkt in $B$. Allerdings entweder quadratisch oder kubisch. Ich hatte die Idee 

$$ \int\limits_{\partial B_3(0)} \frac {z^3 -2z^2 +1} {(z+1)^3} \mathrm dz =  \int\limits_{\partial B_3(0)} \frac {z^3 -2z^2 +1} {(z+1)^2} \cdot \frac 1 {z+1} \mathrm dz $$

umzufromen und dann wieder die Integralformel zu nutzen, aber da im Nenner der Linearfaktor häufiger vorkommt, würde ich durch Null teilen. 

Im Skript habe ich aber keine wirklichen weiteren Satz für die Berechnung eines solchen Integrals gefunden. Wenn ich den Weg substituiere erhalte ich auch nur sehr wilde Ausdrücke. Deshalb wollte ich mal fragen, ob ich hier einen Denkfehler habe, etwas übersehen habe oder ob ich mich durch diese wilden Ausdrücke durchkämpfen muss. 

Ich bedanke mich schon mal für jegliche Hilfe.

Liebe Grüße und einen schönen Abend :)
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Beachte, dass die CIF nicht für Kreisscheiben gilt, sondern für die Kreislinie, die im positiven Umlaufsinne einmal durchlaufen wird. Für andere Umlaufarten kommt u.U. was anderes raus. Üblich ist daher nicht, unten am Integral \(\partial B\) zu notieren, weil der Umlaufsinn nicht klar ist. Üblich ist, das auf eine Kurve C zu beziehen (s.u.).
Es gibt noch Verallgemeinerungen des CIS:
\(f(z)\, Ind_C(z) = \frac1{2\pi\,i}\int_C \frac{f(\zeta}{\zeta-z}\,d\zeta\) für alle \(z\in \mathbb{C}\)
wobei \(Ind_C((z)\) die Umlaufzahl der Kurve \(C\) um \(z\) ist. Diese ist =0, wenn z nicht umlaufen wird, also im Außenbereich der Kurve liegt.
Damit kann man (v) sofort erledigen. Dein Weg ist aber auch korrekt.
Weiter gilt noch für alle n:
\(\frac{f^{(n)}(z)}{n!} = \frac1{2\pi\,i}\int_C \frac{f(\zeta}{(\zeta-z)^n}\,d\zeta\), was bei höheren Potenzen im Nenner hilft.
Bei gemischten Faktoren könnte man auch immer erstmal eine Partialbruchzerlegung machen und es damit auf die einfacheren Fälle zurückführen.
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Ah sehr gut zu wissen. Das ist mir aus dem Skript nicht klar geworden. Macht aber natürlich Sinn.
Die Formel mit der Umlaufzahl habe ich im Skript nicht gesehen. Kommt vielleicht noch.

An Partialbruchzerlegung hatte ich auch gedacht, aber (iv) und (vi) nicht funktioniert. Die Formel ist da natürlich super hilfreich :D
Ich hätte dazu aber noch eine Frage wenn es ok ist:
Für n=1 erhalten wir ja dann

$$ f'(z) = \frac 1 {2\pi i} \int\limits_C \frac {f(\zeta)} {\zeta - z} \mathrm d\zeta $$
Aber das ist nach Cauchy ja auch gleich $f(z)$. Kommt im Nenner vielleicht ein $n+1$ hin?

Vielen Vielen Dank für deine Antwort. Das weiß ich sehr zu schätzen :)   ─   chris2001 24.06.2021 um 18:12
Ach kein Problem. Ich bin trotzdem sehr dankbar. Ein bisschen drüber nachdenken soll ich ja auch noch :p
Wünsche noch einen schönen Abend :)   ─   chris2001 24.06.2021 um 18:37

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