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Beachte, dass die CIF nicht für Kreisscheiben gilt, sondern für die Kreislinie, die im positiven Umlaufsinne einmal durchlaufen wird. Für andere Umlaufarten kommt u.U. was anderes raus. Üblich ist daher nicht, unten am Integral \(\partial B\) zu notieren, weil der Umlaufsinn nicht klar ist. Üblich ist, das auf eine Kurve C zu beziehen (s.u.).
Es gibt noch Verallgemeinerungen des CIS:
\(f(z)\, Ind_C(z) = \frac1{2\pi\,i}\int_C \frac{f(\zeta}{\zeta-z}\,d\zeta\) für alle \(z\in \mathbb{C}\)
wobei \(Ind_C((z)\) die Umlaufzahl der Kurve \(C\) um \(z\) ist. Diese ist =0, wenn z nicht umlaufen wird, also im Außenbereich der Kurve liegt.
Damit kann man (v) sofort erledigen. Dein Weg ist aber auch korrekt.
Weiter gilt noch für alle n:
\(\frac{f^{(n)}(z)}{n!} = \frac1{2\pi\,i}\int_C \frac{f(\zeta}{(\zeta-z)^n}\,d\zeta\), was bei höheren Potenzen im Nenner hilft.
Bei gemischten Faktoren könnte man auch immer erstmal eine Partialbruchzerlegung machen und es damit auf die einfacheren Fälle zurückführen.
Es gibt noch Verallgemeinerungen des CIS:
\(f(z)\, Ind_C(z) = \frac1{2\pi\,i}\int_C \frac{f(\zeta}{\zeta-z}\,d\zeta\) für alle \(z\in \mathbb{C}\)
wobei \(Ind_C((z)\) die Umlaufzahl der Kurve \(C\) um \(z\) ist. Diese ist =0, wenn z nicht umlaufen wird, also im Außenbereich der Kurve liegt.
Damit kann man (v) sofort erledigen. Dein Weg ist aber auch korrekt.
Weiter gilt noch für alle n:
\(\frac{f^{(n)}(z)}{n!} = \frac1{2\pi\,i}\int_C \frac{f(\zeta}{(\zeta-z)^n}\,d\zeta\), was bei höheren Potenzen im Nenner hilft.
Bei gemischten Faktoren könnte man auch immer erstmal eine Partialbruchzerlegung machen und es damit auf die einfacheren Fälle zurückführen.
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 38.86K
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Ach kein Problem. Ich bin trotzdem sehr dankbar. Ein bisschen drüber nachdenken soll ich ja auch noch :p
Wünsche noch einen schönen Abend :) ─ chris2001 24.06.2021 um 18:37
Wünsche noch einen schönen Abend :) ─ chris2001 24.06.2021 um 18:37
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.
Die Formel mit der Umlaufzahl habe ich im Skript nicht gesehen. Kommt vielleicht noch.
An Partialbruchzerlegung hatte ich auch gedacht, aber (iv) und (vi) nicht funktioniert. Die Formel ist da natürlich super hilfreich :D
Ich hätte dazu aber noch eine Frage wenn es ok ist:
Für n=1 erhalten wir ja dann
$$ f'(z) = \frac 1 {2\pi i} \int\limits_C \frac {f(\zeta)} {\zeta - z} \mathrm d\zeta $$
Aber das ist nach Cauchy ja auch gleich $f(z)$. Kommt im Nenner vielleicht ein $n+1$ hin?
Vielen Vielen Dank für deine Antwort. Das weiß ich sehr zu schätzen :) ─ chris2001 24.06.2021 um 18:12