KgV von 3 und 6 mit der Primfaktorzerlegung

Erste Frage Aufrufe: 116     Aktiv: 20.09.2022 um 11:01

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bei der Berechnung des kgV von 3 und 6 mit der Primfaktorzerlegung erhalte ich:
3 -> 3 und
6 -> 2 * 3.
Nach der Rechenvorschrift soll nun das Produkt der höchsten Potenzen aller vorkommenden Primfaktoren das kgV sein:
2 * 3 = 6
Sechs ist aber kein Vielfaches von 6.
Was mache ich da falsch?
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"Vielfaches von" verwirrt, wenn man "viel" wörtlich nimmt.Tatsächlich kommt es aber mehr auf "faches" an, ein 3facher Preis heißt, du musst den alten Preis mal 3 nehmen. Vervielfachen heißt, mit einer beliebigen Zahl (die nicht unbedingt groß, also viel sein muss) multiplizieren. Und jetzt weißt du sicher, um welche Zahl es geht, wenn das "Vielfache von 6"  Sechs sein soll.
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@cauchy Nachfrage dazu: gibt es tatsächlich eine mathematische Definition von Vervielfachen, die nur ganze Zahlen zulässt. Aus dem lateinischen " multiplicare" übersetzt, wäre es ja "jede" Multiplikation. In der Vektorrechnung wird auch von vervielfacht gesprochen, wenn mit 2/3 multipliziert wird. Bei den typischen Schulbuchaufgaben unterscheiden die zwischen " multipliziert man mit einer Zahl"(dann ist gemeint rational oder reell) und "vervielfacht man eine Zahl"( dann kommt meist eine natürliche (oder vll. ganze?) Zahl heraus), die Null würde hier vermutlich zur Einschätzung "falsches Ergebnis" führen. Da ich eine mathematische Def. nicht kenne, bin ich davon ausgegangen, die Beschreibung einer Aufgabe in Worten ist kontextabhängig und gar nicht so präzise.   ─   monimust 20.09.2022 um 09:49

@monimust: interessante Nachfrage! Ich habe mal kurz nachgeschlagen, siehe unten. Cauchy hat also Recht, auch mit "$0$ ist ein Vielfaches von jeder Zahl".

Wikipedia: "Ein Vielfaches ist ein Begriff aus der Arithmetik, der sich primär auf die Multiplikation ganzer Zahlen $(\ldots,-1,0,1,2,\ldots )$ bezieht. Allerdings kann er auch auf beliebige abelsche Gruppen verallgemeinert werden."

Lexikon der Mathematik Band 5 Sed-Zyl: "Vielfaches, ein Begriff, der sich zunächst auf die Multiplikation natürlicher Zahlen bezieht, sich zwanglos auf beliebige (additiv geschriebene) abelsche Gruppen verallgemeinern läßt und auf jeder abelschen Gruppe eine natürliche $\mathbb{Z}$-Modulstruktur durch Vielfachenbildung induziert."
  ─   maqu 20.09.2022 um 10:02

Man sagt einfach triviales Vielfaches oder nicht-triviales Vielfaches.   ─   zesty 20.09.2022 um 10:49

Falls Interesse: in Mathematik man formalisert dies zu Idealen. In einem Ring \(A\) wir haben das Hauptideal \((a):=\{ra: r \in A\}\), dass alle Vielefachen von \(a\) enthält, es ist kleinste Ideal, dass \(a\) enthält. In einem Hauptidealring (jedes Ideal ist ein Hauptideal) wir können kgv von \(a,b \in A\) als den normierten Erzeuger des Ideals \((a) \cap (b)\) definieren, der Erzeuger ist nämlich nur bis aus Multiplikation mit Einheiten eindeutig. In diesem Beispiel ist \((3)\cap (6)=(6)=(-6)\) und wir setzen \(6\) als KGV, weil normiert.

Um Vielefache allgemein zu definieren, sind Module wie maqu erklärt sehr geeignet, da sie sehr viele wichtige Kategorien "umfassen"
  ─   mathejean 20.09.2022 um 10:55

Danke für die Antwort und die Diskussion dazu :)   ─   userd24c4c 20.09.2022 um 11:01

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6 ist vielefaches von 6, du hast alles richtig gemacht!
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