Glatte Funktionen - beliebig oft differenzierbar - Taylorreihen - Konvergenz

Aufrufe: 1022     Aktiv: 10.02.2022 um 13:21
0

Zur (a): Durchs Internet verstehe ich glatte Funktionen als eine beliebig oft differenzierbare Funktion. Beim Beweisen wurde ab und zu die Induktion ins Spiel gebracht, allerdings weiß ich nicht, inwieweit man das hier anwenden kann (und wie genau das dann gehen würde). Und darf ich hier (c) voraussetzen?

Zur (b): Generell bin ich da gerade noch recht unsicher. Aber darf ich auch hier die Aussagen von (c) voraussetzen?

Zur (c): Kann man da nicht einfach in die Aussagen aus der Aufgabenstellung einsetzen und es daraus direkt als bewiesen ansehen? Oder muss ich für die Ableitungen dann den Grenzwert bilden und daraus sehen, dass cos die Ableitung von sin ist?

EDIT vom 06.02.2022 um 21:01:


Würde das also für die (a) und (c) so reichen?
Und wie wäre mein Ansatz für die (b)?

EDIT vom 07.02.2022 um 20:06:

.

EDIT vom 07.02.2022 um 22:06:


.

EDIT vom 08.02.2022 um 20:18:

.

EDIT vom 08.02.2022 um 21:19:

.

EDIT vom 09.02.2022 um 15:15:

.

EDIT vom 09.02.2022 um 15:52:

.
Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 42

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Für a) und b) darfst du c) natürlich nicht verwenden. Leite doch die Funktionen einfach weiter ab. Dann siehst du die Struktur bestimmt. Für c) reicht es, einzusetzen und zu überprüfen.
Diese Antwort melden
geantwortet

Selbstständig, Punkte: 30.55K

 
Könntest du dir meinen Edit anschauen?   ─   gfedbca 06.02.2022 um 21:02
Da sich von nun an die Ableitungen von nun an immer wieder wiederholen?   ─   gfedbca 06.02.2022 um 21:24
hm ok, fällt mir jetzt grad nichts ein. aber wie gehe ich die b) an?   ─   gfedbca 06.02.2022 um 21:45
Du meinst die allgemeine Form der Taylorreihe? Die habe ich hier stehen. Nur was mache ich damit jetzt?   ─   gfedbca 07.02.2022 um 00:07
Ich komme bei der (b) nicht weiter. Ich habe lediglich die allgemeine Form der Taylorreihen, weiß aber nicht was die nächsten Schritte sind   ─   gfedbca 07.02.2022 um 19:02
Was ich bisher hatte, ist, dass \( {f}^{(i)} = {f}^{(i+4)} \). An der Stelle 0 bin ich mir noch unsicher. Es gibt die drei Ergebnisse {-1, 0, 1}. {0} kommt bei geraden i heraus. {-1, 1} abwechselnd bei ungeraden i. Ich weiß aber nicht wie ich das in eine allgemeine Form \( {f}^{(i)} (0) \) bringe.   ─   gfedbca 07.02.2022 um 19:53
Tabelle etc. habe ich bereits gemacht und habe es jetzt auch hochgeladen. Mir ist eben nicht ganz bewusst wie ich 1 und -1 mathematisch ausdrücken kann   ─   gfedbca 07.02.2022 um 20:10
Ich weiß gerade nicht woran es liegt, aber mathefragen lässt mich gerade kein neues Bild hochladen. Mein neues Ergebnis ist: \( {f}^{(i)} (0) = 0 \), falls i gerade und \( {f}^{(i)} (0) = (-1)^m \) für \( m = \frac{i-1}{2} \)   ─   gfedbca 07.02.2022 um 20:49
Ich habe mal die Definition, die wir haben, hochgeladen. Meinst du also jetzt mit dem Restglied der TR den hinteren Teil meines hochgeladenen Ausdrucks?   ─   gfedbca 07.02.2022 um 22:10
Leider noch nicht ganz. Ich soll zeigen \( { \lim }_{n \rightarrow \infty } \frac{ {f}^{(n+1)}( \zeta )}{(n+1)!} \cdot {x}^{n+1} \rightarrow 0 \). Ich weiß allerdings nicht genau, wie ich das zeigen kann. Da du noch das x < R erwähnt hast, habe ich über das \( {x}^{n+1} \) nachgedacht. Das geht ja aber nur gegen unendlich, genauso wie der Nenner. Das würde mich an L'Hospital erinnern, aber irgendiwe glaube ich, dass ich auf dem falschen Weg bin.   ─   gfedbca 07.02.2022 um 23:00
Damit hatte ich noch nicht wirklich was zu tun. Ich denke mal ich soll einen Ausdruck nehmen, der größer ist als mein Restglied und eben auch gegen 0 geht, oder? Aber wie finde ich sowas? Ich habe leider keine Ahnung.   ─   gfedbca 07.02.2022 um 23:20
Darf ich die "Tatsache" beweislos verwenden? Dann scheine ich ja einfach nur den Zähler hoch n nehmen zu müssen, oder?   ─   gfedbca 07.02.2022 um 23:53
Dadurch, dass der Zähler \( \leq {R}^{n+1} \) ist, kann ich die Tatsache (die ich im Übrigen bei uns gefunden habe) verwenden und sagen: \( { \lim }_{n \rightarrow \infty } \frac{ {f}^{(n+1)}( \zeta )}{(n+1)!} \cdot {x}^{n+1}\) geht gegen 0? Falls ja, habe ich aber leider nicht verstanden, wie man das \( \leq {R}^{n+1} \) in Verbindung mit den Ableitungen bringt. (Und ich bin ein bisschen von "R" verwirrt. Das soll doch einfach irgendein reeller Ausruck sein, oder was?)   ─   gfedbca 08.02.2022 um 00:43
Wo in der Fragestellung kann man \( \lvert x \rvert \leq R \) folgern?
"Damit ist dann das Restglied \( \leq \)?" - Also \( \frac{ {f}^{(n+1)} ( \xi )}{(n+1)!} \cdot {x}^{n+1} \) ist kleiner gleich was? R?

Mein Kopf ist langsam matsche. Ich werde es für jetzt mit Mathe sein lassen, werde mich aber morgen (heute) damit weiterbeschäftigten mit hoffentlich weiterhin so geduldiger Hilfe :)   ─   gfedbca 08.02.2022 um 01:32
Kann man das aus R>0 von der Aufgabenstellung folgern oder wo ist das denn vorgegeben?   ─   gfedbca 08.02.2022 um 15:32
Okay, ich muss aber sagen, dass ich ein wenig den Überblick verloren habe:

Bei der a) habe ich mein hochgeladenes Bild und dass sich die Ableitungen immer wieder wiederholen (was aber noch etwas unmathematisch ist).

Bei der b) habe ich \( {f}^{(i)} (0) \) ausgerechnet und muss auf Basis vom "Satz vom Taylor" zeigen: \( { \lim }_{n \rightarrow \infty } \frac{ {f}^{(n+1)}( \zeta )}{(n+1)!} \cdot {x}^{n+1} = 0 \). Dafür betrachtet man den Zähler, der wegen der Beschränktheit des ersten Faktors und wegen |x|≤R des zweiten Faktors kleiner ist als der Nenner (der ja gegen unendlich geht). Somit ist der Limes = 0 und ich bin fertig?

Und bei der c) habe ich zwar eine Lösung, bei der du aber sagst, dass das nicht reicht.   ─   gfedbca 08.02.2022 um 16:32
Ich weiß jetzt allerdings nicht, was der nächste Schritt ist.   ─   gfedbca 08.02.2022 um 19:13
Ich habe es hochgeladen. Mir fehlt weiterhin (ich verstehe weiterhin nicht) die Argumentation/der Beweis für den Limes = 0   ─   gfedbca 08.02.2022 um 20:20
Neues Bild ist hochgeladen...   ─   gfedbca 08.02.2022 um 21:20
Auch wenn das, was ich hingeschrieben habe, deinem Wortlaut entspricht, dachte ich, es verstanden zu haben. Scheinbar nicht ganz. "mit dem was noch dabei steht". Ich weiß nicht, was du meinst. Und wie ich dich verstehe, willst du eine 2-fache Ungleichung machen. Links der Bruch (das Restglied mit eingesetztem x0), dann irgendwas, was ich nicht weiß und dann R^n/n!. Bis hierhin richtig?   ─   gfedbca 08.02.2022 um 21:33
Es wurde gesagt, den Zähler größer zu machen. Ich bleibe aber leider auch dabei, dass ich keine Ahnung habe, wie man sowas generell macht, ob man sich was aus der Nase ziehen muss oder nach welchem Prinzip man vorgeht   ─   gfedbca 08.02.2022 um 21:58
\( \lvert {x}^{n+1} \rvert\leq {R}^{n+1} \) ?   ─   gfedbca 08.02.2022 um 22:23
Also kann ich sagen: Da \( \lvert {x} \rvert\leq {R} \) lässt sich durch nach oben Abschätzen (\( \lvert {x}^{n+1} \rvert\leq {R}^{n+1} \)) sagen, dass das Restgleid gegen 0 läuft.   ─   gfedbca 08.02.2022 um 22:39
Dazu dann noch der Hinweis von mikn, dass der Rest vom Zähler beschränkt ist?   ─   gfedbca 08.02.2022 um 23:06
\( (a \cdot b) \leq (c \cdot d) \), also \( \lvert {f}^{(n+1)} ( \xi )\rvert \cdot {\lvert x \rvert }^{n+1} \leq c \cdot \ {R}^{n+1} \) .Stimmt das bis auf, dass ich nicht weiß, was c ist?   ─   gfedbca 08.02.2022 um 23:57
Scheinbar schon. Ich weiß es einfach nicht und sehe es auch nicht   ─   gfedbca 09.02.2022 um 00:27
Könntest du mir vielleicht die Lösung für diesen einen Schritt sagen? Ich weiß es einfach nicht. Ich denke mal, dass wenn ich die Lösung dazu habe, das Ganze besser nachvollziehen kann. Das bringt finde ich mehr, als jetzt noch weitere 50 Nachrichten mit der selben Frage zu verbringen.   ─   gfedbca 09.02.2022 um 04:47
Ich verstehe es halt nicht. Ich denke, dass dieses Verständnis mit der Lösung kommen würde. Und falls ich - was ich nicht glaube - durch die Tipps selbst darauf komme, lag es wohl eher daran, dass ich geraten habe und weniger daran, dass ich es dann verstanden habe. Die bisherigen Tipps haben es mich ja auch nicht verstehen lassen. Warum sollten die gleichen Tipps es mich jetzt auf einmal verstehen lassen? Ich denke, dass ich mit der Lösung dieses Schrittes es verstehen würde, spätestens, wenn du erklärst, warum es denn die Lösung ist.
Man muss ja nicht immer von der einen Seite an das Problem rangehen (was offensichtlich bisher nicht geklappt hat), sondern kann auch mit der Lösung an das Problem gehen und so versuchen, die Problematik zu lösen.   ─   gfedbca 09.02.2022 um 13:46
Na dann, ich würde sagen, dass das gesuchte c M ist, ohne es genau zu verstehen   ─   gfedbca 09.02.2022 um 13:58
Ich habe meine verbesserte Version hochgeladen. Ist nun alles richtig?   ─   gfedbca 09.02.2022 um 15:16
\( \frac{ \lvert {f}^{(n+1) (ζ)} \rvert \cdot \lvert {x}^{n+1} \rvert }{(n+1)!} \leq \frac{M \cdot {R}^{n+1} }{(n+1)!} \)
Wäre das so richtig?   ─   gfedbca 09.02.2022 um 15:44
Ich würde behaupten: mittlerweile schon.. eben eine Abschätzung nach oben. Wenn B gegen 0 läuft, läuft auch A gegen 0, wenn B größer gleich A ist. (Oben ist ein neuer Edit)   ─   gfedbca 09.02.2022 um 15:51
Muss ich da - bis auf den Anfang mit den Ableitungen - nicht einfach nur f mit g ersetzen?   ─   gfedbca 09.02.2022 um 16:09
Hm, mir fällt nichts auf was dagegen sprechen würde   ─   gfedbca 09.02.2022 um 17:36
Also der erste Teil sind die Ableitungen: die sind etwas anders
Der zweite Teil ist der Satz von Taylor mit seiner Umformung. Da ist also auch nichts anders.
Und der dritte Teil ist auch identisch, da Betrag x kleiner R weiterhin vorgegeben ist. Und g^(n+1) auch durch M beschränkt ist. Die Folgerungen daraus sind also auch dieselben.   ─   gfedbca 09.02.2022 um 17:51
Die "etwas anderen" Ableitungen schreibe ich einfach hin. Und kann dann sagen, dass der Rest analog zu f verläuft, denn die Umformungen eines Satzes sind unabhängig von f oder g und den dritten Teil habe ich ja schon gesagt.   ─   gfedbca 09.02.2022 um 18:14
@mikn: Kompliment für die Ausdauer.   ─   scotchwhisky 09.02.2022 um 18:44
Zur c) hatte ich ja zunächst einfach eingesetzt und ich sollte überlegen, warum das nicht reicht. Ich könnte mir vorstellen, dass ich zeigen soll, dass das die einzige Lösung ist, aber das ist nur eine Idee davon, was du meinen könntest.   ─   gfedbca 09.02.2022 um 18:54
Und bestimmt nicht ironisch gemeint. Ich glaube es ist nicht einfach einem (mir) 24/7 das gleiche zu erzählen und es wird nicht verstanden :)   ─   gfedbca 09.02.2022 um 18:57
Voraussetzung ist, dass f und g differenzierbar sind und die Angaben aus der Aufgabenstellung stimmen. Behauptung ist, dass f=sin und g=cos. Also muss ich noch beweisen, dass sin und cos differenzierbar sind?
Das Thema Differentialgleichungen hatten wir zwar noch gar nicht. Habe mir jetzt aber mal ein paar allgemeine Sachen dazu angeschaut und den allgemeinen Ansatz f''(x) + a*f'(x) + b* f(x) = b(x) (wenn es homogen ist =0) gefunden. Viel weiß ich damit noch nicht so anzufangen. Ich könnte f''(x) bspw. durch -f(x) ersetzen, glaube das führt mich aber nicht ganz ans Ziel. Wenn ich das lösen wollen würde in dieser allgemeinen Form, meine ich auf die schnelle gesehen zu haben: λ^2+ aλ+ b = 0. Gerne Rückmeldung, ob das so richtig ist oder ob es mir jetzt gerade überhaupt etwas bringt   ─   gfedbca 09.02.2022 um 19:34
@sotchwhiskay : hier traust dich wohl nicht?   ─   monimust 09.02.2022 um 19:43
Hättest du denn einen Tipp, wie ich so jetzt weitermachen kann, denn ich weiß leider nicht wie ich jetzt am besten weitermache bzw. überhaupt anfange.
Ich weiß nämlich nicht wie folgendes geht: "Schreib die Angaben zu f um in eine Dgl 2. Ordnung für f"   ─   gfedbca 09.02.2022 um 20:50
okay.
Wie könnte ich die a) noch mathematischer ausdrücken? Ich hatte ja überlegt f^(n) = f^(n+4). Geht das auch noch anders?
   ─   gfedbca 09.02.2022 um 22:02

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.