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Ein Funktion $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_2x^2+a_1x+a_0$ heißt ganzrational. Beispiele: $x^2-x-2$, $x^3-1$ Oder $5$ uvw.
Hingegen zu einer Funktion $f(x)=\dfrac{Z(x)}{N(x)}$ mit ganzrationalen Funktionen $Z(x),N(x)$ nennt man diese gebrochenrational. Die Nennerfunktion darf (wie cauchy bereits im Kommentar angemerkt hat) nicht konstant sein. Sobald du also einen Ausdruck mit Bruchstrich (gebrochen) hast, handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion. Definitionslücken (hebbare Lücken, Polstellen) gibt es NUR bei gebrochenrationalen Funktionen, weil nur dort deine Nennerfunktion Nullstellen haben kann. Diese entstehen da man in der Mathematik nicht durch Null teilen kann. Man könnte die Zählerfunktion mit Hilfe der binomischen Formel umschreiben, so dass man auf $f(x)=\dfrac{x^2-4x+4}{x-2}$ kommt. Bei deinem Beispiel handelt es sich also um ...?
Hingegen zu einer Funktion $f(x)=\dfrac{Z(x)}{N(x)}$ mit ganzrationalen Funktionen $Z(x),N(x)$ nennt man diese gebrochenrational. Die Nennerfunktion darf (wie cauchy bereits im Kommentar angemerkt hat) nicht konstant sein. Sobald du also einen Ausdruck mit Bruchstrich (gebrochen) hast, handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion. Definitionslücken (hebbare Lücken, Polstellen) gibt es NUR bei gebrochenrationalen Funktionen, weil nur dort deine Nennerfunktion Nullstellen haben kann. Diese entstehen da man in der Mathematik nicht durch Null teilen kann. Man könnte die Zählerfunktion mit Hilfe der binomischen Formel umschreiben, so dass man auf $f(x)=\dfrac{x^2-4x+4}{x-2}$ kommt. Bei deinem Beispiel handelt es sich also um ...?
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maqu
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@cauchy danke für den Nachtrag das die Nennerfunktion nicht konstant sein darf, hatte ich vergessen. Wird korrigiert. Das ausmultiplizieren habe ich nur angemerkt um vielleicht besser zu erkennen um was es sich handelt … das man das nicht macht um die Lücke zu kürzen ist klar. Als dumm empfinde ich es jetzt nicht um klarzumachen das $(x-2)^2$ ganzrational ist obwohl es nicht auf den ersten Blick den Anschein macht wenn man es mit der Definition vergleicht. Ich habe ja auch geschrieben „Man könnte…“.
─
maqu
22.07.2022 um 21:38
@cauchy danke für die Anmerkung. Hatte nicht mehr im Sinn das pk05 diese Frage vor einigen Tagen gestellt hatte. Ich verlinke die Frage die du meinst hier mal:
https://www.mathefragen.de/frage/q/434030df14/das-ist-doch-falsch-die-funktion-ist-trotzdem-ganzrational/
Ich hatte mich nur an der letzten davor gestellten Frage orientiert.
@pk05: worin unterscheidet sich denn die Funktionen $g(x)=x-2$ von $f(x)=\dfrac{(x-2)^2}{x-2}$, welche durch Kürzen der Nullstelle entsteht? Schaue dazu nochmal in die von dir hochgeladen Definition und die Antwort zu deiner Frage, dann sollte sich auch diese klären.
@cauchy zu „Man sollte aber auch wissen …“ mir erschien anhand der letzten Frage von pk05 nicht das ihm/ihr das klar ist. Ich dachte durch den Hinweis mit dem Ausmultiplizieren wie eben beschrieben damit für Klarheit zu sorgen. ─ maqu 22.07.2022 um 22:35
https://www.mathefragen.de/frage/q/434030df14/das-ist-doch-falsch-die-funktion-ist-trotzdem-ganzrational/
Ich hatte mich nur an der letzten davor gestellten Frage orientiert.
@pk05: worin unterscheidet sich denn die Funktionen $g(x)=x-2$ von $f(x)=\dfrac{(x-2)^2}{x-2}$, welche durch Kürzen der Nullstelle entsteht? Schaue dazu nochmal in die von dir hochgeladen Definition und die Antwort zu deiner Frage, dann sollte sich auch diese klären.
@cauchy zu „Man sollte aber auch wissen …“ mir erschien anhand der letzten Frage von pk05 nicht das ihm/ihr das klar ist. Ich dachte durch den Hinweis mit dem Ausmultiplizieren wie eben beschrieben damit für Klarheit zu sorgen. ─ maqu 22.07.2022 um 22:35