Hilfe bei Definitionsmenge

Erste Frage Aufrufe: 79     Aktiv: 08.06.2021 um 13:04

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Wie gehe ich hier mit der Wurzel um, wenn ich die Definitionsmenge bestimmen soll? Kann ich sie außer acht lassen?

Ich weiß auf jeden Fall, dass vom Nenner aus x <= +- Wurzel 5 nicht werden darf, und durch den Zähler x >=0 sein muss.

 

Könnte mir jemand helfen oder mir sagen, ob ich richtig liege :)

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Nein, das stimmt so nicht ganz. Am besten, du gehst an solche Fragen systematisch heran: Du hast richtig erkannt, dass es bei dieser Funktion zwei Dinge gibt, die die Definitionsmenge einschränken: Den Bruch und die Wurzel. Betrachte also beide einzeln.
  1. Bei dem Bruch darf der Nenner nicht \(0\) werden, d.h. wir müssen die \(x\) aus der Definitionsmenge ausschließen, für die \(x^2-5=0\) gilt, also \(x=\pm\sqrt5\).
  2. Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen, also muss \(\frac{2x}{x^2-5}\geq0\) gelten. Diese Ungleichung kann man lösen, indem man sich den Graphen der Funktion visualisiert, aber das ist nicht immer leicht. Rechnerisch kannst du zwei Fälle unterscheiden. Ist \(x^2-5\geq0,\) also \(|x|\geq\sqrt5\), können wir einfach mit dem Nenner multiplizieren, um auf \(2x\geq 0\) zu kommen. In diesem Fall haben wir also die Lösung \(]\sqrt5,\infty[\). Ist \(x^2-5<0\), also $|x|<\sqrt5$, dann dreht sich beim Multiplizieren mit dem Nenner das Ungleichheitszeichen um. Es folgt also \(2x\leq 0\) und in diesem Fall haben wir die Lösungen \(]-\sqrt5,0]\). Insgesamt erhalten wir hier die Menge \(]-\sqrt5,0]\cup\ ]\sqrt5,\infty[\)
Am Schluss nimmst du für die Definitionsmenge dann einfach alle \(x\), die in beiden Teilen erlaubt sind. Hier ist das einfach \(]-\sqrt5,0]\cup\ ]\sqrt5,\infty[\), da da $\pm\sqrt5$ schon nicht dabei sind. Nach diesem Schema solltest du immer vorgehen, wenn du die Definitionsmenge komplizierterer Funktionen bestimmen sollst.
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Hallo,

das geht schon mal in eine sehr gute Richtung ist aber nicht ganz korrekt. 
Richtig ist auf jeden Fall schon mal, dass der Nenner nicht Null werden darf und somit \( x \neq \pm \sqrt{5} \). Diese können wir also schon mal rausstreichen. 

Nun hast du bei der Wurzel den richtigen Gedanken, aber nicht der Zähler muss \( \geq 0 \) sein, sonder der ganze Bruch, denn die Wurzel einer negativen Zahl können wir nicht ziehen. Also betrachte noch

$$ \frac {2x} {x^2-5} \geq 0 $$

Kannst du diese Ungleichung lösen? 

Grüße Christian
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