Ich versuch mal zu vermitteln.

Der TE wählt "Treffpunkt" als Ersatzbegriff für kgv, weil die übliche Methode, mit der man das kgv bestimmen kann, am Ende nicht mehr greift(so im Text, lieber Christian, das schreibt der TE selber), heisst: Es geht nicht um Schnittpunkte, 7 mal 3 = 21 (21 ist kgv, aber kein Schnitpunkt).

Und ab hier fang ich jetzt mal an zu "merkeln", das ganze vom Ende her betrachten, ab der Stelle wo es heisst: "Dieser Zusammenhang lösst sich aber auf, wenn die Vorschrift so aussieht:
 f1 (a * x) mit a e N (17; 27; 37...) und x € N (19; 29; 39...)
f2 (b * y) mit b e N (13; 23; 33....) und y € N (11; 21; 31...), sodass...."
und es folgen dann drei Beispiele und ich seh nicht, dass man viel herumschieben, viel herumprobieren muss. Leute, es sind kleine Zahlen und wenn das erste Beispiel so aussieht:
"f1(17x) und f2(13y);  erster Treffpunkt bei = 663", und der TE mit dieser Schreibweise "lineare Funktionen" meinen will, dann muss ich selber das nicht in die übliche Schreibweise überführen, nur um zu sehn, was hier wohl gemeint ist, aber ich schreibs mal hin:
f1(x) =  (17x) und f2(x) = (13y) (Ich nehme an, dass es so gemeint ist, etwas was man in der Mathematik häufig tut, wir nehmen an, .... wir tun so als ob...).
Und ich sehe, dass es um das kgv von zwei Zahlen geht, das sich aber nicht auf die übliche Weise bestimmen lässt, weil x und y eben nicht 1;2;3... sind sondern eben wie oben beschr.
Und ich sehe, dass 17 und 13 jeweils die ersten beiden Zahlen sind.
Und auf 663 kommt man, indem man selbes tut wie auch bei 7 und 3, nur dass für x und y nicht 1;2;3;... gilt sondern wie oben beschr..
Und der erste "Treffpunkt" ist dann 663. Auf diese Zahl kommt man aber weder mit kgv Bestimmung für 17/13 noch mit  170/130.

Vielleicht würde ich statt "Treffpunkt" einen anderen Begriff wählen, aber einen bekannten Begriff, für diese Art des Vielfachen aus zwei Zahlen, kenn ich nicht.

Ich hab sogar eine Lösung, leider nicht ganz sauber, leider. Das hätt ich jetzt wirklich gerne zur Hand, weil es so gut hier rein  'passen' würde, zu all dem was man hier schreibt
(Eine Lösung hab ich vielleicht auch deshalb, weil ich im Gegensatz zu Cauchy, die Hieroglyphen, mit denen man i.a. mathematische Zusammenhänge beschreibt, nicht Mathematik nenne. Für mich ist Mathematik, das Verstehen von mathematischen Zusammenhängen.)

Man kann sich fragen: Was passiert denn bei 7 und 3, auf dem Weg zum "Treffpunkt " von 21. Die 7 macht ihren ersten Schritt und ist bei 14, die 3 ist bei 6. Die Differenz ist 8. Die 8 ist aber kein Vielfaches von 3. Die 3 macht den Nächsten... geht aber auch nicht. Erst wenn die 3, die 12 erreicht, und die 7 die 21, ist die Differenz ein Vielfaches von 3. Und 12 = 3 * 4;  und 4 ist die Differenz von 7 -3, also die Differenz der beiden Zahlen um die es geht. Daraus lässt sich eine simple Gleichung aufstellen: 7x -12 > = 7; das ganze nach x, heisst: x > = 19/7; x > = 2.33; x soll aus N sein also x = 3(warum ich auf- und nicht abrunde, weite runten).
Leider lässt sich das so nicht 1:1 auf das TE-Problem übertragen, (1:1 wär möglich wenn es: 17+17+17...wäre, ist es aber nicht).
Aber, was war denn die 7, in dem Beispiel? Sie ist die Distanz von einem Schritt zum Nächsten,  und sie ist auch Startpunkt.
Also lässt sich für das TE-Problem eine ähnliche Gleichung aufstellen:
170x - 40 > = 323 (170 ist die Distanz von einem Schritt zum Nächsten, 323 ist der Startpunkt, 40 ist die Differenz der beiden Distanzen(170 - 130)).
Diese Gleichung nach x, heisst: x > = 2.13; x ist aus N als x = 2
Damit kommt man auf einen "Treffpunkt" von 663, weil: 323 + (170 +2) = 663; damit lässt sich y leicht bestimmen.

Ich schrieb oben, dass es nicht sauber ist, weil: einmal hab ich aufgerundet, einmal abgerundet. Und, und das ist richtig Kake, es geht nur solang wie: Startpunkt+ (Differenz der Distanzen), grösser ist, ausreichend grösser sogar, als die Distanz, sonst liegt das Ergebnis bei 0.xxx.
Diese Gleichung so aufzustellen, dass klar ist, ob aufrunden oder abrunden oder gar nicht runden, überlass ich den Mathematikern.

Etwas zur Freiwilligkeit: Freiwillig machen wir das alle. ABER, es wird ja nicht darum gedealt, ist nicht so, dass die Fragenden darum betteln und dann wird gnädigerweise gewährt. Also ich fand das immer schon albern, die Freiwilligkeit heranzuziehen um damit den TE zu disziplinieren oder sonstige.... abzuleiten
Ausserdem: Wie will Couchy denn davon wieder abrücken, von seinem: "Was bitte sollen das denn....". Wenn der TE seine Schreibe nochmal zurechtgerückt hätte, dann wäre er auf das eigentliche Problem eingegangen... ? Glaub ich nicht.

Wenn ich deine Frage richtig verstehe, dann lässt sich dein Problem relativ leicht vereinfachen:

Eine Zahl der Form \( 17x \) mit \( x \in \{ 19, 29, 39, \dots \} \) ist ja nichts anderes als eine Zahl der Form \( 17(19+10m)=323+170m \) mit \( m \in \mathbb{N} \).

Analog ist eine Zahl der Form \( 13y \) mit \( y \in \{ 11, 21, 31, \dots \} \) nichts anderes als eine Zahl der Form \( 13(11+10n) = 143 + 130n \) mit \( n \in \mathbb{N} \).

Mit deinem "Treffpunkt" zielst du also im Endeffekt auf eine Lösung der Gleichung \( 323+170m = 143+130n \) in natürlichen Zahlen ab.

Damit ist dein Problem also äquivalent zur Lösung der Linearen Diophantischen Gleichung \( 170m+(-130)n=-180 \) in natürlichen Zahlen. Zu solchen Linearen Diophantischen Gleichungen gibt es eine umfassende und recht elementare Lösungstheorie. Um dein Problem zu lösen solltest du dir diese Theorie am besten mal anschauen.

Ich hoffe, dass ich dir damit weiterhelfen konnte :)