Zeigen Sie, dass A dann kompakt ist - was ist eine offene Überdeckung?

Aufrufe: 925     Aktiv: 08.06.2020 um 17:10
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Hallo Zusammen,

ich sitze gerade an einer Hausübung die wie folgt lautet:


Sei A eine abgeschlossene und beschränkte Menge. Zeigen Sie, dass A dann kompakt ist.

Gemäß mehreren Definitionen die ich jetzt gefunden habe gilt bei Kompaktheit folgendes:

- Ist eine Menge beschränkt und abgeschlossen, so ist sie kompakt

- Eine Menge K c X heißt kompakt, falls für jede offene Überdeckung (Ui)i€I von K endlich viele Indizes i1,..,ik€I existieren mit K c Ui1 U.. U(umgedreht)uik.

Jetzt gibt es hier einen Hinweis, sei xn eine beliebige Folge von A. Was folgt aus der Beschränktheit von A und dem Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß?

Gem. der Definition von B-W : Eine Menge K⊂X heißt kompakt, falls für jede offene ̈Uberdeckung(Ui)i∈I von K endlich viele Indizes i1,...,i k ∈ I existieren mit K⊂Ui1∪...∩Uik.


Ich verstehe diese Definition irgendwie so garnicht. Was genau ist eine Überdeckung und was genau sagt mir diese Formel?

Zum lösen der Aufgabe muss ich ja lediglich zeigen das diese Folge kompakt ist, dafür muss ich sie aber verstehen xD

Danke vorab für eure Rückmeldung! :)

 

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Kurze Frage an dieser Stelle:
A ist als abgeschlossene und beschränkte Menge definiert. Folgt daraus nicht schon, dass A kompakt ist, da jede beschränkte und abgeschlossene Menge kompakt ist?   ─   smileyface 07.06.2020 um 16:39
Definition von Kompaktheit:
Eine Menge A ⊆ R heißt kompakt, wenn jede Folge aus A eine
Teilfolge besitzt, die gegen einen Grenzwert aus A konvergiert.
und
Eine Menge A ⊆ R ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen
und beschr¨ ankt ist.

Ja, ich war auch der Meinung das A automatisch kompakt ist, sobald es beschränkt und abgeschlossen ist. Allerdings meine mein Mathe Nachhilfelehrer das die Augabenstellung einen Bewes dafür erfordert. Und nu wollt ich mir vor der Nachhilfe stunde selber den Kopf zerbrechen :-)   ─   deypoints 07.06.2020 um 16:42
Vielen Dank mikn.
Wäre es an dieser Stelle zielführend eine konvergente Teilfolge einer beliebige Folge \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) in A zu betrachten, wobei man dann auf Grund der Abgeschlossenheit von A wieder folgern könnte, dass der Grenzwert der konvergenten Teilfolge ebenfalls in A liegt oder muss ich die Beschränktheit an irgendeiner Stelle noch verwenden?   ─   smileyface 07.06.2020 um 17:08
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ganz genau so geht es. Sei x_n Folge in A. Da A beschränkt ist, gibt es eine konv. Teilfolge (hier geht die Beschränktheit ein!). Rest mit abgeschlossen wie im Kommentar von smileyface oben.

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Sehr hilfreich obwohl ich die Frage nicht gestellt habe. Vielen Dank an dieser Stelle :)   ─   smileyface 07.06.2020 um 17:13
Wunderbar danke dir! :)
Also müsste es ja eigentlich folgende Antwort sein (einfach für mich zum Verständnis):
Sei (xn) eine Teilfolge in A:= {xn I n€IN}. Da A beschränkt ist, existiert eine konvergente Teilfolge (xn), mit identischem Grenzwert wie die Folge A, gem. Def. 3.xx (Eine Menge A ⊆ R heißt kompakt, wenn jede Folge aus A eine
Teilfolge besitzt, die gegen einen Grenzwert aus A konvergiert.).
/Verständnisfrage - (hier dürften ja beliebig viele konvergente Teilfolgen bestehen, da es ja beschränkt ist oder?)
Da die Teilfolge ebenso abgeschlossen und beschränkt ist, gilt hier die Kompaktheit. Da Teilfolge kompakt, ist die Folge ebenso kompakt.
   ─   deypoints 07.06.2020 um 17:36
Tatsächlich tue ich mich mit Beweisen ungemein schwer.. Und da wir dieses Semester nen Prof-wechsel im Kurs haben ist es nicht leichter geworden >.<   ─   deypoints 07.06.2020 um 17:38

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.