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Da dort der Logarithmus auftaucht, muss \(x\) größer \(-1\) sein.... und dann sind alle Zähler und Nenner positiv - also strikt positiv. Jetzt kannst du dein \(x\) beliebig nahe an \(-1\) wählen und der Logarithmus wird belibig klein - die übrigen Brüche kann man sicherlich leicht nach oben abschätzen - damit erhälst du einen negativen Wert. Wenn man \(x=5\) wählt sollte die Funktion positiv sein. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es dann eine Nullstelle. Also insbesondere positive und negative Werte - also ist die Funktion nicht monoton.
Also ich habe den Paramter \(t\) außer Acht gelassen. Da müsstest du nochmal was zu sagen.
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mathe.study
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Die Begründung ist mir nicht ganz klar. Wenn man x (von rechts) gegen -1 gehen lässt, dann wird der Logarithmus-Term zwar beliebig klein, aber die Bruchterme werden auch beliebig groß (wenn t > 1/2), also sehe ich nicht, wie man daraus schließen kann, ob die Werte nahe bei -1 nun negativ oder positiv sind. Ich habe mir die Funktion für t=1 mal plotten lassen und es sieht auch eher danach aus, als sei die Funktion tatsächlich immer strikt größer als 0.
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13.07.2020 um 13:55
Tatsächlich war ich nicht ganz exakt für den Fall \(t=\frac12\) - Danke für den Hinweis. Das ist allerdings vermutlich nicht so schlimm, denn ich vermute mal: \(t\) ist ein Parameter. Damit wird der Bruch zwar für \(x\) gegen \(1\) recht groß - aber nur polynomial - \(ln(x)\) siegt!
Sollte also auch für alle \(t\) stimmen - denke ich mal ... ─ mathe.study 13.07.2020 um 15:47
Sollte also auch für alle \(t\) stimmen - denke ich mal ... ─ mathe.study 13.07.2020 um 15:47
Das Grenzwertverhalten, das du hier beschreibst, liegt so leider nicht vor. Es gilt zunächst mit L`Hospital \( \lim_{x \to -1^+} (x+1) \ln(x+1) \) \( = - \lim_{x \to -1^+} \frac{- \ln(x+1)}{ \frac{1}{x+1} } \) \( = - \lim_{x \to -1^+} \frac{ - \frac{1}{x+1} }{ - \frac{1}{(x+1)^2} } \) \( = - \lim_{x \to -1^+} x+1 = 0 \) und somit \( \lim_{x \to -1^+} \frac{\ln(x+1)}{4} + \frac{x+2}{4(x+1)} \) \( = \frac{1}{4} \lim_{x \to -1^+} \frac{(x+1) \ln(x+1) + x+2}{x+1} = \infty \). Für \( t \ge \frac{1}{2} \) ist also der Grenzwert der Funktion für \( x \to -1^+ \) auf jeden Fall \( \infty \).
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42
13.07.2020 um 16:23
Das musst du glaube ich nochmal überdenken! Da sind ein paar Fehler drin... Aber du könntest recht haben - ich habe zu schnelle geschlossen. Denn
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \ln(x) + \frac{1}{x^2} = \lim_{n\rightarrow \infty} \ln(\frac1n) + n^2 = \lim_{n\rightarrow \infty} -\ln(n) + n^2 = \infty\) ─ mathe.study 13.07.2020 um 16:43
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \ln(x) + \frac{1}{x^2} = \lim_{n\rightarrow \infty} \ln(\frac1n) + n^2 = \lim_{n\rightarrow \infty} -\ln(n) + n^2 = \infty\) ─ mathe.study 13.07.2020 um 16:43
Dann Ändere ich meine Antwort :-) Ich denke, dieser Ausdruck ist strikt positiv für \(t\geq\frac 12\) und alle \(x\in(-1,\infty)\).
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mathe.study
13.07.2020 um 16:46
Wo ist denn in meinen Rechnungen ein Fehler?
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42
13.07.2020 um 16:59
...ich denke, du bist an dem Grenzwert der Summe \(\frac{\ln(x+1)}4+\frac{2x+3}{4(x+1)^2}\) interessiert, nicht wahr? - ah du meintest den von \(t\) unabhängigen Summanden - verstehe....mein Fehler - wusste nur nicht so genau worauf du dich beziehst.
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mathe.study
13.07.2020 um 17:09
Tatsächlich sind die Brüche alle strikt positiv zumindest für \(t\geq\frac12\) und \(x\in(-1,\infty)\) und der Logarithmus ist nicht in der Lage, diese zu dominieren - also monoton wachsend.
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mathe.study
13.07.2020 um 17:13