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Ziel bei der Induktion ist es im Induktionsschritt (die Aussage die gezeigt werden soll für \(k+1\)) die Induktionsvoraussetzung einzusetzen. In der Induktionsvoraussetzung nimmst du an, dass die zu zeigende Aussage bereits für ein beliebig fest gewähltes \(k\in \mathbb{N}\) gilt. Ist dies auch für den Nachfolger (\(k+1\)) der Fall, dann gilt es auch für alle natürlichen Zahlen, da die Wahl von \(k\) beliebig war.
Die Induktionsvoraussetzung, welche eingesetzt werden soll ist lediglich \((1+x)^k\geq 1+k\cdot x\). Dein Lehrer nutzt im ersten Schritt das Potenzgesetz und trennt einen Faktor ab, um danach die Induktionsvoraussetung einsetzen zu können.
\((1+x)^{k+1}\underset{\text{das wird weggelassen}}{\underbrace{=(1+x)^k\cdot (1+x)^1}} =(1+x)^k\cdot (1+x) \overset{IV}{\geq} (1+k\cdot x)\cdot (1+x)=\ldots\)
Der Rest ist ledilgich ausrechnen und günstig abschätzen wo man hin möchte.
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(1 + x)\( ^{k+1} \) = (1 + x)\( ^{k} \) (1 + x) ≥ (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx\( ^{2} \) ≥ 1 + (k + 1)x
Das heisst dieser Term ist nur eine Umformung:
(1 + x)\( ^{k+1} \) = (1 + x)\( ^{k} \) (1 + x) ≥ (1 + kx)(1 + x)
und das wäre das Ergebnis: 1 + (k + 1)x + kx\( ^{2} \)
Dieses Ergebnis setze ich dann in meine Ursprüngliche Ungleichung wieder ein:
1 + (k + 1)x + kx\( ^{2} \) ≥1 + (k + 1)x ─ abb 26.01.2021 um 00:25
\((1+kx)\cdot (1+x)=\underset{\text{ausmultiplizieren}}{\underbrace{1\cdot (1+x)+kx\cdot (1+x)=}} \underset{\text{zusammenfassen}}{\underbrace{1+x+kx+kx^2=}}1+(k+1)x+kx^2\)
erhälst du einfach durch ausmultiplizieren der Klammern und zusammenfassen.
Im letzten Schritt lässt du bei der Abschätzung einfach den Term \(kx^2\) weg, wodurch dein Gesamtterm kleiner wird. Du möchtest ja die Aussage \((1+x)^k\geq 1+kx\) zeigen für \(k+1\) statt für \(k\), also musst du am Ende im Induktionsschluss den Weg \(\ldots\) zeigen und dabei irgendwo die Induktionsvoraussetzung einsetzen:
\((1+x)^{k+1} \geq \ldots \overset{IV}{=} \ldots \geq 1+(k+1)x\).
Sozusagen, weist du wo du hinwillst und im letzten Schritt stört dich nur noch das \(kx^2\), welchen du nach unten gegen \(1+(k+1)x\) abschätzen kannst, indem du ihn einfach weglässt. ;) ─ maqu 26.01.2021 um 00:37
Zeigen Sie, dass das Prädikat
P(n) : n! > 2\( ^{n} \)
auf dem Universum L = { n ∈ N | n ≥ 4 } gilt.
Induktionsvoraussetzung: 5!>2\( ^{5} \)
Induktionsschritt:
P(k) ==> k! > 2\( ^{k} \)
P(k+1) ==> (k+1)! > 2\( ^{k+1}“\)
(k+1)! = k! * (k+1) | hier ersetze ich dann k! mit 2\( ^{k}\)
(k+1)! = k! * (k+1) > 2\( ^{k} \) * (k+1) = 2\( ^{k} \)*k + 2\( ^{k} \) | Dies ergibt dann das folgende
2\( ^{k} \)*k+2\( ^{k} \) > 2\( ^{k+1} \)
Die Lösung meines Lehrers ist die folgende:
(k + 1)! = k!(k + 1) > 2\( ^{k} \)(k + 1) > 2\( ^{k}\)*2 = 2\( ^{k+1} \)
Hier wäre auch wieder, dass mein Lehrer 2\( ^{k}\)*k, dass mal *k wegelassen hat. Ist das richtig so?
─ abb 26.01.2021 um 11:37
Ich verstehe eben nicht warum ich das machen darf. Dort wo es mir klar ist, habe ich den Term ja nur umgeformt:
(1 + x)\( ^{k+1} \) = (1 + x)k *(1 + x)
Das sind ja einfache Potenzgesetze. Jetzt zu meinem Problem: Als nächstes wollte ich meine Umformung in die Ungleichung einsetzen. Dies ergibt folgendes:
(1 + x)\( ^{k} \)*(1 + x) ≥ (1 + kx) ==> (1+kx) hat er ja vom P(k)
Jetzt hat mein Lehrer auf der rechten Seite der Ungleichung auch (1+x) hinzugefügt. Warum dies?
(1 + x)\( ^{k} \) (1 + x) ≥ (1 + kx)*(1 + x)
Vielen Dank im Voraus! ─ abb 26.01.2021 um 00:10