Seien G und H Gruppen und f : G → H ein Gruppenhomomorphismus

Aufrufe: 457     Aktiv: 15.11.2022 um 16:29
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Seien G und H Gruppen und f : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Beweisen Sie:
(a) Ist U ⊆ G eine Untergruppe, so ist f (U ) eine Untergruppe von H.
(b) Ist V ⊆ H eine Untergruppe, so ist f^-1(V ) eine Untergruppe von G.

Meine Überlegungen:
Gruppenhomomorphismus i.a.: f(xy) = f(x) verknüpft mit f(y). In unserem Falle muss das heißen, dass G und H dasselbe neutrale und inverse Element haben.
f : G → H dasselbe wie f(G)=H

zu a) Wenn U eine Untergruppe von G ist, dann sind das inverse und das neutrale Element von G auch in U. Da ja f(G)=H ist,ist in meinen Augen auch f(U)=H, da U eine Untergruppe/Teilmenge von G ist. So muss auch f(U) eine Untergruppe zu H sein, da das Inverse und das neutrale Element schon im Bild von U drin gewesen sein müssen, da U eine Untergruppe von G ist.

zu b) Wenn V eine Untergruppe von H ist, dann sind inverse und neutrale Element von H auch in V. Da ja f^-1(H)=G ist, ist in meinen Augen auch f^-1(V)=G, da V eine Untergruppe/Teilmenge von H ist. So muss auch f^-1(V) eine Unterguppe zu G sein, da das inverse und das neutrale Element schon im Bild von V drin gewesen sein müssen, da V eine Untergruppe von H ist.


Falls das kompletter Käse ist, sagen Sie es bitte einfach. Falls es irgendwie korrekt ist, in irgendeiner Art und Weise, dann wäre ich über Tipps dankbar, wie ich das mathematisch beweisen kann!
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Moin,
zunächst, nur weil f von G nach H abbildet, ist nicht unbedingt \(f(G)=H\) (das ist nur der Fall, wenn f surjektiv ist).
zu (a): Zu zeigen ist: für \(f(g),f(h)\in f(U)\) ist auch \(f(g)f(h)\in f(U)\) und \(f^{-1}(h)\in f(U)\).
zu (b): Zu zeigen ist: für \(g,h\in f^{-1}(V)\) ist auch \(gh\in f^{-1}(V)\) und \(g^-1\in f^{-1}(V)\)
Mithilfe der Eigenschaften des Gruppenhomomorphismus \(f(g^{-1})=f^{-1}(g)\) und \(f(gh)=f(g)f(h)\), ist das relativ leicht zu zeigen. 
Fang mal an, wenn etwas nicht klappt, melde dich
LG
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Alles klar vielen Dank! Ich probiere mich mal!   ─   ramy69 11.11.2022 um 22:14
zu a) um das neutrale Element zu zeigen hab ich gesagt: Sei e element von U das neutrale Element von U und e´ das neutrale Element von H folgt daraus nach definiton eines Gruppenhomomorphismus: f(e)= e´. Daraus folgt dass e´ in f(U) liegt.
Das Inverse wäre dann f(U) verknüpft mit f(U)^-1 = f(U verknüpft U^-1).
Dann ist f(U verknüpft mit U^-1) = f(e)=e´. f(U) ist ein Wert und f(U^-1) ist ein auch ein Wert und diese beiden Sind inverse von einander also ist das hier ebenfalls e.
Ist das so halbwegs richtig?   ─   ramy69 12.11.2022 um 15:45
das einzige was daran richtig ist, ist der Teil mit dem neutralen Element.
zu (a): Mach es doch einfach so, wie ich es dir schon aufgeschrieben habe: Seien \(f(g),f(h)\in f(U)\). Dann ist \(f(g\cdot h)=f(g)\cdot f(h)\in f(U)\), da \(g\cdot h\in U\). Und analog die anderen Punkte, die ich oben aufgelistet habe.   ─   fix 12.11.2022 um 20:15
Ja ok. Vielen dank. Entschuldige, dass ich jetzt erst schreibe. Ich habe mich jetzt nochmal in deinen Gedankengang gesetzt und glaube auch deine Intention zu verstehen, allerdings muss mir irgendein Brett vorm Kopf hängen. Ich habe jetz für den zweiten Teil von a folgendes:
Seien f(g),f(h) element f(U). Dann ist f(h^-1)=f^-1(h) element f(U), da h mal h^-1 element U. Falls das falsch ist, tut es mir wirklich sehr leid, dass ich mich so blöde anstelle.
   ─   ramy69 14.11.2022 um 20:03

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Mit fällt es ebenfalls schwer die Analogie für Teil b anzuwenden. Bin mir sehr unsicher bei der gedanklichen Herangehensweise
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