Analysis 2 Riemann integral

Erste Frage Aufrufe: 95     Aktiv: 04.11.2021 um 23:14

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Hey!hat jemand Ahnung wie man das beweisen soll?ich bin so verwirrt.
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Hallo
Also ist dir das Riemann Integral ein Begriff, also genauer gesagt die Riemannschen Ober/Untersummen? Wenn nein musst du das zuerst anschauen denn sonst verstehst du nicht was wir hier machen. 

Ich setze mal voraus dass ihr gezeigt habt, dass $e^x$ integrierbar ist auf dem gewählten Intervall. Was du machen musst, ist das Intervall $[0,y]$ zu zerlegen um dann die Riemansche Summe zu berechnen, ist eigentlich egal ob Ober oder Untersumme, kommt bei beidem aufs gleiche hinaus da $e^x$ integrierbar ist, also die beiden Summen sind identisch und genau gleich dem gesuchten Integral. So wir nehmen die Zerlegung $$0+k\left(\frac{y-0}{n}\right)=\frac{ky}{n}, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall k=0,...n-1$$ Nun betrachten wir genau die Summe $$\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{ky}{n}\right)\left(\frac{(k+1)y}{n}-\frac{ky}{n}\right)=\sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{ky}{n}}\frac{y}{n}=\frac{y}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{ky}{n}}=\frac{y}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(e^{\frac{y}{n}}\right)^k$$
So und nun siehst du dass du hier eine geometrische Reihe hast, also eine Reihe der folgenden Form $$\sum_{k=0}^n q^k$$ Für diese Reihe habt ihr sicherlich schon folgende Formel bewiesen:$$\sum_{k=0}^n q^k=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$$ Versuche das mal nun auf deine Summe oben anzuwenden. Beachte, dass in der Formel die Summe von 0 bis n geht und in unserer Aufgabe von 0 bis n-1, das heisst du musst eine ganz kleine Anpassung durchführen und kannst nicht einfach nur q ersetzen. Was erhälst du dann? Dann hast du deine Summe als einzelnen Term schreiben können, was du nun noch machen musst ist $n\rightarrow \infty$ streben lassen, dann erhälst du dein gewünstes Resultat. Versuche das mal und wenns nicht klappt melde dich wieder.

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