Lösungsmenge einer Ungleichung bestimmen

Erste Frage Aufrufe: 140     Aktiv: 28.01.2025 um 15:29

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Hallo zusammen,
 
ich suche die Werte für \(x_1\) und \(x_2\), die folgende Ungleichungen erfüllen:
 
1. 
$\left| \frac{x_1 \cdot \cos(x_1)}{\sin(x_1)} \right| \leq 1$
 
 
2. 
$\left| \frac{x_2 \cdot \sin(x_2)}{\cos(x_2)} \right| \leq 1$
 
 
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte! :)
 

EDIT vom 27.01.2025 um 16:40:

Die Aufgabe betrifft Konditionszahlen und Stabilität und ich suche die Bedingung, unter der das Problem gut konditioniert ist. Ich habe die Verstärkungsfaktoren also aufgestellt und versuche zu überprüfen für welche Werte meine beiden Zahlen betragsmäßig klein sind. Mein Problem ergibt sich durch das Verhältnis von sinus und cosinus,denn es wird unendlich viele Äste geben in denen es Intervalle gibt, die diese Ungleichungen erfüllen und eine gute Abschätzung ergibt sich mir nicht, deswegen suche ich einen Ansatz mit dem man mehrere Ausdrücke gleichzeitig im Griff bekommt und eine übersicht über die Lösungsmengen erlangt
gefragt

Punkte: 10

 

Willkommen bei mathefragen.
Wir helfen Dir gerne. Du lies aber vorher den Kodex (im Menu links), ergänze Deine Frage entsprechend (tags, Vorüberlegungen, Hintergrund usw.). Dann geht's los.
  ─   mikn 27.01.2025 um 16:18

Aha, danke. Jetzt sieht man, worum es geht (und dass es eine interessante Frage ist). Sollen beide Ungleichungen gleichzeitig erfüllt sein oder sind das zwei getrennte Probleme?   ─   mikn 27.01.2025 um 16:48

Eigentlich müssen beide Ungleichungen gleichzeitig erfüllt sein, aber hier ist es egal, weil sie eine getrennte Abhängigkeit haben (also x1 und x2).   ─   userd983ce 27.01.2025 um 16:53

Was suchst Du denn für eine Abschätzung? Wenn man grob wüsste, wo die x'e liegen, kann man ja numerisch Intervalle in der Nähe finden (auf denen die Bedingung erfüllt ist). Alle Intervalle systematisch angeben wird wohl nicht gehen.
  ─   mikn 27.01.2025 um 20:04
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1 Antwort
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Es ist stets sinnvoll, den Hintergrund der Aufgabe mitzuliefern. MMn stimmen Deine Ungleichungen nicht. "datenstabil" kenne ich nicht als festen Begriff, ich gehe mal davon aus, dass es um die (absolute) Konditionszahl bei der Auswertung der Funktion $\Phi$ geht. Ich schreibe $x,y$ anstelle $x_1,x_2$. Wg Periodizität braucht man nur $x,y\in [0,2\pi]$ zu betrachten.
Bez. $x$: $\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,y)=\frac{\cos x}{\cos y}$.
Also $|...|\le 1$, falls $|\cos x|\le |\cos y|$.
Bez. $y$: $\frac{\partial \Phi}{\partial y}(x,y)=\frac{\sin x\sin y}{\cos^2 y}$.
Üblicherweise sucht man keine zur Stabilität äquivalente Bedingungen, sondern nur hinreichende.
Aber kläre erstmal die Begriffe, insb. die Def. von "datenstabil".
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Lehrer/Professor, Punkte: 40.03K

 

Ok, das sind die relativen Konditionszahlen. Und diese sind ja auch nur Schätzungen des Verstärkungsfaktors, weil die Ableitung an einer unbekannten Zwischenstelle genommen wird, nicht in x.
Was Du mit "präzisen Lösungsmengen" meinst, ist mir weiter nicht klar. Diese gibt es nur theoretisch, und sind für diese Frage hier nicht relevant (siehe Erläuterungen oben).
Du kannst auch das ganze unnötig auf 2d aufgeblasene Problem vereinfachen (in der Darstellung). Bez. \(x_1\) geht es hier nur um die Auswertung von \(f(x)=\sin x\). Bez. \(x_2\) um die Auswertung von \(g(x)=\frac1{\cos x}\).
  ─   mikn 28.01.2025 um 11:52

Du meinst mit Abschätzung die Näherung durch das Taylorpolynom? Aber das Problem bleibt doch weiterhin die gesamte Ungleichung, die die Terme x1, sin(x1) und cos(x1) beinhaltet und hierfür muss ich ja per Definition trotzdem die <=1 Abschätzung überprüfen. Eine Lösung wäre ja beispielweise für 1) mit dem Rechner x=1.6 dann könnte man sich nach und nach Umgebungen angucken und auf Periodizität erweitern und überprüfen. Aber ich suche eine Möglichkeit diese Ungleichungen in 1) und 2) per Hand zu analysieren -ist das möglich ? - Es ist eine Aufgabe für die ich keine Lösungen haben und ich benötige dieses Vorgehen leider (zumindest verstehe ich es so, dass ich es rechnerisch plausible begründen soll).

Ein Beispiel wie ich die Aufgabe verstehe:

Sei \( y = \phi(x_1, x_2) = \sqrt{x_1^2 + x_2^2} \).
Dann ist \(\kappa_{11} = \frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}} \frac{\partial}{\partial x_1} (x_1^2+x_2^2)^\frac{1}{2} = \frac{x_1^2}{x_1^2+x_2^2}\) und \(\kappa_{12} = \frac{x_2^2}{x_1^2+x_2^2}\)

Hier haben wir jetzt zwei Ungleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen und Abhängigkeit aufweisen, d.h.
\( \lvert \frac{x_1^2}{x_1^2+x_2^2} \rvert \leq 1\) und \( \lvert \frac{x_2^2}{x_1^2+x_2^2} \rvert \leq 1 \) Problem bei \( (x_1,x_2) = (0,0) \), anschließend ist der Ausdruck stets positiv also

\( x_1^2 \leq x_1^2+x_2^2 \) und \( x_2^2 \leq x_1^2+x_2^2 \) immer erfüllt, sodass die Lösungsmenge alle \( x= (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\) beschreibt.

Ausgehend hiervon gehe ich davon aus, dass ich nach diesem Vorgehen auch die obigen Ungleichungen analysieren muss -aber wie ?-
  ─   userd983ce 28.01.2025 um 12:34

In Deinem Beispiel klappt alles sehr schön, das ist die große Ausnahme.
Ich kann mich nur wiederholen (siehe oben). Also nochmal: Konditionszahlen sind Schätzwerte. Schätzungen math. exakt zu analysieren ist nicht sinnvoll. Zu Lösungsmengen und hinreichend/äquivalent-Bedingungen auch siehe oben.
Du sagst immer häppchenweise um was es geht. Also jetzt mal vollständig und am Stück: Wie lautet die Aufgabenstellung?
  ─   mikn 28.01.2025 um 12:41

Das müsste aber auch in der obigen Aufgabe genauso gehen (immerhin war es eine Aufgabe, die mal als Klausuraufgabe gedacht war)
Um es zusammenzufassen, wobei die Zwischenschritte alle nicht unbedingt notwendig sind :

Sei \( y = \phi(x_1,x_2) = \frac{sin(x_1)}{cos(x_2)}\) dann ist die Frage : Für welche \(x_1\) und \(x_2\) ist die Berechnung von \(y\) datenstabil.
Nach obiger Definition bestimmt man also die Konditionszahlen und gibt dann Bedingungen an unter denen das Problem gut konditioniert ist.
Diese Bedingungen sind genau die, die betragsmäßig aus den Konditionszahlen hervorgehen, indem man sie im Vergleich zu 1 möglichst klein halten möchte.
Nach obigen Herleitungen sind dann \(\kappa_{11} = \frac{x_1 cos(x_1)}{sin(x_1}\) und \(\kappa_{12} = \frac{x_2 sin(x_2)}{cos(x_2)}\).
Die Bedingungen die man jetzt aufstellen muss sind genau \(|\kappa_{11}| \leq 1\) und \(|\kappa_{12}| \leq 1 \), was zu den Ungleichungen oben führt:
1. \( \frac{|x_1cos(x_1)|}{|sin(x_1)|} \leq 1\) und 2. \(\frac{|x_2sin(x_2)|}{|cos(x_2)|} \leq 1\)
Nach dem obigen Beispiel bleibt nun also noch die \(x_1\) und \(x_2\) anzugeben, die das Problem datenstabil machen und damit die Ungleichungen 1. und 2. (gleichzeitig) erfüllen.
  ─   userd983ce 28.01.2025 um 13:51

Ich habe dir jetzt mehrfach erklärt, warum das hier nicht so geht, wie du es verstehst, und warum das auch nicht sinnvoll ist.
Um zu verstehen was hier gemeint ist, liefere bitte, auch hier wiederhole ich mich:
1. Die vollständige Definition von datenstabil.
2. Die vollständige Aufgabenstellung als Foto.
  ─   mikn 28.01.2025 um 14:21

Verstehe leider dein Problem nicht( habe dir sowohl ein Beispiel als auch die Aufgabe nochmal präzise gegeben) mehr als die Ungleichungen zu betrachten und herauszufinden für welche x1 und x2 diese <=1 sind ist hier nicht notwendig. Alle Definitionen der Konditionszahlen und co sind nicht notwendig für das Problem.
Also am Ende bleibt die Frage von oben nur ausstehend.
  ─   userd983ce 28.01.2025 um 14:48

Wenn Du auf meine Rückfragen und Hinweise nicht eingehst, habe ich nicht mehr als das bereits gesagte anzubieten.
  ─   mikn 28.01.2025 um 14:53

Deine Ansätze sind aber am eigentlichen Problem (den Ungleichungen) vorbei, zu denen man x1 und x2 angeben kann.
Du hast bisher keine Hilfe zur eigentlichen Frage geboten, nur deine eigenen Definitionen angewandt um ein anderes Problem zu erzeugen.
  ─   userd983ce 28.01.2025 um 15:00

Nein, ch hab dir mehrfach gesagt und erklärt, warum es keine Antwort zu deiner Frage geben kann. Du beharrst aber auf deinem Weg.   ─   mikn 28.01.2025 um 15:29

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