Definition des Riemann- Integrals

Aufrufe: 856     Aktiv: 04.01.2021 um 13:12

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Hallo Leute, ich hoffe jemand kann mir bei der Definition des Riemann-Integrals mithilfe von Ober- und Untersummen helfen.

 

Das Prinzip ist klar. Das Integral existiert, wenn Ober und Untersumme gegen den gleichen Wert konvergieren. 
Ich würde jetzt intuitiv eine äquidistante Einteilung fur die Rechteckbreite wählen, da dann ja auch das Berechnen des Grenzwertes einfacher werden kann.

 

In der formalen Definition ist es jetzt aber so, dass man auch eine unregelmäßige Einteilung wählen kann.

 

Die Frage: WIESO SOLLTE MAN DAS MACHEN?

 

 

Danke für eure Hilfe :)!

 

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Es kommt in der Praxis fast nie vor, dass man Riemann-Integrale mit Hilfe von Ober-, Unter- oder Riemann-Summen berechnet. Meistens verwendet man den Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung. Darum ist es in den Anwendung eigentlich egal, wie das Integral definiert ist, solange man die wesentlichen Eigenschaften verwenden kann.

Nicht-äquidistante Zerlegungen sind aber wichtig, um eben diese Eigenschaften zu zeigen. Zum Beispiel verwendet man im Beweis der Tatsache, dass das Produkt Riemann-integrierbarer Funktionen wieder eine Riemann-integrierbare Funktion ist, dass die Vereinigung zweier Zerlegungen \(Z,Z'\) eine verfeinerte Zerlegung ist. Sind \(Z,Z'\) äquidistant, dann gilt das im Allgemeinen nicht für \(Z\cup Z'\). Mit einer Definition, die nur äquidistante Zerlegungen zulässt, könnte man den Beweis so einfach also nicht führen. Ich weiß allerdings nicht, ob eine Definition nur mit äquidistanten Zerlegungen denselben Integralbegriff wie das Riemann-Integral hervorbringt. Das könnte eine schwierige Fragestellung sein.

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