Integral (0, pi) x*sin(x/2)

Aufrufe: 138     Aktiv: 09.06.2024 um 19:24

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Hallo ich will das integral von 
berechnen. Ich habe mit partieller Integration angefangen und bin dadurch auf diese Funktion gekommen:

ab hier müsste es weiter mit der Substitution gehen aber da bleibe ich hängen und komme auf keine Lösung. Wie würde ich x/2 jetzt substituieren?
gefragt

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1 Antwort
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Tipp: Erstmal ohne Grenzen rechnen. Erst nach Finden einer Stammfunktion Grenzen einsetzen.
"$\implies$" hat da nichts zu suchen. Hier gehört "=" hin (überleg Dir warum, um solche Rechnungen im logischen Ablauf besser zu verstehen).
Zur part. Integration: Man hat ja \(\int u'v dx\) vorliegen. Wenn man \(u'=x\) nimmt, wird \(u=\frac12x^2\) und damit bleibt ein Integral, das ungünstiger als das vorige aussieht. Konsequenz also, wenn man trotzdem bei part. Integration bleiben will?
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.36K

 

sin(x/2) zu integrieren ist ja aber nicht leichter. Und Substitution von x/2 hat mir im weiteren Verlauf auch nicht viel gebracht   ─   k.f07 06.06.2024 um 09:05

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$\sin\frac{x}2$ ist sehr einfach zu integrieren, das kann man eigentlich erraten (Probe nicht vergessen).   ─   mikn 06.06.2024 um 09:40

Man kann auch $\sin(\frac{x}{2})$ ein paar mal ableiten. Ruhig vier mal oder öfter. Spätestens dann sollte der Zusammenhang klar werden. Man kann auch substituieren, wenn man das richtig macht (das dx ersetzen und Grenzen mitsubstituieren) sollte das gleich rauskommen, wenn man die rücksubstitution nicht vergisst. Ist sicherlich auch eine gute Übung für dich.   ─   maqu 06.06.2024 um 20:32

Erhält man bei der Substitution für die x/2 dann durch kürzen x?   ─   k.f07 08.06.2024 um 15:18

Und sin x/2 integriert müsste dann ja -1/8 cos(x/2) sein   ─   k.f07 08.06.2024 um 15:19

Solange Du unsicher beim Ableiten bist, wird es auch mit Integrieren nicht klappen.
"Und sin x/2 integriert müsste dann ja -1/8 cos(x/2) sein." - Nein, wie durch Probe durch Ableiten selbst feststellen kannst. Beherzige die obigen Tipps. Zu Substitutieren gibt es hier für Dich nichts (weil das komplizierter als Ableiten ist).
  ─   mikn 08.06.2024 um 15:58

Die Tipps bringen aber leider nichts, sin(x/2) abgeleitet ist für mich 1/2 cos(x/2), das wiederum abgeleitet 1/2*1/2*-sin(x/2), also -1/4 Sin(x/2), wegen innerer Ableitung mal äußerer und das abgeleitet ist -1/8 cos(x/2). Wo liegt mein Fehler beim ableiten?
Es ist für mich auch ersichtlich, dass ich vom -1/8cos(x/2) nicht auf sin(x/2) komme aber das ist das was ich nicht verstehe
  ─   k.f07 09.06.2024 um 19:04

Du suchst eine Funktion, die abgeleitet $\sin\frac{x}2$ ergibt. Diese wolltest Du deiner Ableitungsübung entnehmen können. Probe nicht vergessen.   ─   mikn 09.06.2024 um 19:24

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