Grenzwertbestimmung mit Ableitung nach Regel von L'Hospital

Erste Frage Aufrufe: 52     Aktiv: 03.06.2021 um 14:53

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Hallo :-),

ich habe eine Übungsaufgabe, bei der ich leider scheiterte.

Es gilt den Grenzwert von e^sqrt(x) / x² zu ermitteln (Wort: e hoch Wurzel x dividiert durch x²). x soll dabei gegen unendlich laufen. Die beiden Bruchterme laufen jeweils bei Einsetzen von x gegen unendlich, also kann Regel von L'Hospital angewendet werden.

Lösungsansatz: Das getrennte Ableiten von Zähler und Nenner bringt, auch beim wiederholten Anwenden, das e^sqrt(x) nicht aus dem Zähler. Gleiches gilt, wenn ich vorher den natürlichen Logarithmus ln() auf Zähler und Nenner anwende, um die e-Funktion umzuformen. Auch hier bringt mich der entstehende Wurzelterm sqrt(x) nach (mehrfacher) Anwendung der Ableitungsregel nach L'Hospital an den Anfang, da der Wurzelterm nicht aus dem Zähler verschwindet.

Was mache ich falsch? Habt ihr einen Tipp oder Ansatz, den ich übersehen habe?

Lieben Dank für Eure Unterstützung! 

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Punkte: 10

 

Danke an 1+2=3 und gerdware für die Hilfestellungen. :)

Ich habe es nach etlichen Neustarts und Nachrechnungen nun so gemacht, dass ich zuerst den ln() auf Zähler und Nenner angewendet und anschließend 2x nach l'Hospital abgeleitet habe.

Ergebnis war ein Bruch mit sqrt(x) / 2, was m.M.n. mit x -> ∞ in ∞/2 = ∞ als Grenzwert endet.

Vielleicht nicht so "sauber" wie eure Beispiele, aber nun "leuchtet" es mir ein. Ich war verwirrt, da ich die Grenzwertberechnung mit der Ableitung für den Nenner im letzten Schritt verwechselt und die Berechnung abgebrochen hatte. Ärgerlicher Fehler 40, der Lerneffekt daraus ist daher umso größer. :)
  ─   user0af425 03.06.2021 um 14:49

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2 Antworten
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Moin user0af425.

Der Ansatz klingt total richtig! Du hast auch recht, \(e^{\sqrt{x}}\) verschwindet nicht aus dem Nenner. Das muss es aber prinzipiell auch garnicht! Du musst in dem Fall nur solange L'Hospital anwenden bis der Nenner konvergiert für \(\lim_{x\rightarrow \infty}\). Dann hast du nämlich etwas von der Form \(\dfrac{\infty}{a}\), womit dein Ausdruck divergiert. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, konvergiert der Nenner nach dem 5. mal anwenden der Regel von L'Hospital.

Grüße
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Student, Punkte: 9.63K
 

Besten Dank für den Hinweis, 1+2=3!

Ich hatte mir schon gedacht, dass es bei mir am Ausdruck "Unendlich durch a" scheiterte. Der lim x -> ∞ hat für den Nenner a keine Bedeutung bzw. bleibt unverändert. Genau das (!) hat mir jedes Mal das Genick gebrochen und an der Aufgabe verzweifeln lassen. Mathevokabeln pauken ist das A und O, ich merke schon. :)
  ─   user0af425 03.06.2021 um 14:53

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nach 4 de l'Hopital:
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Lehrer/Professor, Punkte: 3.27K
 

Lieben Dank für deine Unterstützung, gerdware.

Ich danke für deine ausführliche Ausarbeitung und den anschaulichen Rechenweg. Top! :)
  ─   user0af425 03.06.2021 um 14:50

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