Berechnung maximaler Querschnittsfläche

Aufrufe: 1650     Aktiv: 06.01.2021 um 14:12
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Folgender Sachverhalt:

Es soll ein Tunnel geplant werden (nach o.g. Formel), bei dem später ein Transportsystem mit rechteckigem Querschnitt eingebaut werden soll.

Frage 1: Wann ist die Querschnittsfläche für das Transportsystem maximal?

Frage 2: Wie groß ist der prozentuale Verlustquerschnitt?

Zu 1 (bisherige Überlegungen): Die Flächenfunktion lautet A(x) = 2x * o.g. Formel. Davon müsste m.E. die erste Ableitung gebildet werden, die lautet dann: A`(x) = 6 cos (pi*x/6) - 6x * pi/6 sin(pi*x/6). Nun müsste A`(x)= 0 gesetzt werden. Wie kommt man dann zu der Nullstelle in der Musterlösung x = 1,64 (ungefähr)? Der Rechenweg wäre wichtig..

Zu 2 (bisherige Überlegungen): Müsste hierzu die Aufleitung der oben abgebildeten Funktion gebildet werden, um zunächst die Tunnelquerschnittsfläche (in den Grenzen 3 / 0) errechnet und dann prozentual mit der anderen Fläche aus 1 ins Verhältnis gesetzt werden? Die Tunnelquerschnittsfläche soll gem. Musterlösung x = 11,46 (ungefähr) betragen?

 

 

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exakt ausrechnen kannst du die Nullstelle von A' nicht. Kommt jetzt darauf an, welches Gerät zur Verfügung steht, GTR oder WTR   ─   monimust 01.01.2021 um 00:51
In der Lösung wird die Ableitung = 0 gesetzt. Dann folgt der Hinweis: Daraus folgt 1-pi*x/6 * tan pi*x/6 = 0
Und dann folgt: 1 = z*tan z, daraus folgt z = 0,86 und damit x = 1,64.
Wie kommt man auf diese Umformungen?   ─   jgu 01.01.2021 um 16:24
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ja, du kannst natürlich die Umformung tan(x) = sin(x) /cos (x) verwenden, d.h. die Gleichung durch cos (pi x/6) teilen, damit kommst du dann auf deine Gleichung , wenn du diese nicht kennst, am Einheitskreis lässt sie sich leicht verstehen.
   ─   monimust 01.01.2021 um 16:45
Ok, das mit dem teilen stimmt. Letzte Frage: Wie bekomme ich diesen (umgestellten) Ausdruck tan pi*x/6 = 1/(pi*x/6) nach x aufgelöst? Habe es mit Substitution versucht aber das geht nicht da x auf beiden Seiten auftaucht...?!   ─   jgu 01.01.2021 um 21:04
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ja so lässt sich das nicht lösen, das stimmt, Substitution ist aber immer gut wegen der Übersichtlichkeit. Und dann eine numerische Lösung, deswegen habe ich ja nach deinem TR gefragt. Also graphisch oder mittels Wertetabelle.   ─   monimust 01.01.2021 um 21:28
ja, denke ich auch. Der Ausdruck nach der Substitution 1=z*tan(z) muss dann durch probieren gelöst werden. Vielen Dank für die Denkanstöße!   ─   jgu 02.01.2021 um 14:39
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probieren würde ich ein Näherungsverfahren nicht nennen ;)
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