Gleichungen umstellen

Erste Frage Aufrufe: 351     Aktiv: 28.05.2022 um 22:32
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Beim umstellen der Gleichungen frage ich mich wie es zu den ganzen anderen Vorzeichen zu Stande kommt :(
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Hallo und herzlich willkommen auf mathefragen.de!
Könntest du mir vielleicht ein Beispiel geben was du genau meinst, dann können wir dir sicher besser helfen.   ─   karate 27.05.2022 um 22:07
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2c2-18=3c-1c2-9
=2c2-18-3c+1c2+9=0
Es wurde umgestellt…
Verstehe nicht wie es zu den Vorzeichen kommt zb. -3c etc   ─   user6957ad 27.05.2022 um 22:13
Ups da war karate seine Antwort weg, wollte gerade darunter einen Kommentar schreiben und den Staffelstab an dich übergeben karate😅 … hättest Deine Antwort nicht löschen brauchen! … sry hatte nicht mitbekommen das die Konversation schon im Gange war als ich meine Antwort eingetippt hatte   ─   maqu 27.05.2022 um 22:33
@Maqu nein kein Problem ich habe deine Antwort gelesen und gedacht wow das ist wirklich eine schön formulierte Antwort und da würde ich lieber unter deiner Antwort weiterdiskutierten. Also wirklich gar kein Problem, aber ich wollte den Fragenden nicht "verwirren", dass er meint er müsse über zwei Antworten mit unterschiedlichen Standpunkten diskutieren. Also wirklich kein Problem ich helfe gerne unter deiner Antwort zu diskutieren wenn es den Fragesteller/in noch interessiert.   ─   karate 27.05.2022 um 22:36
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@karate danke. Gerne, gemeinsam bringen wir den Frager schon ans Ziel👍
@frager: Versuch mal Schritt für Schritt umzustellen, wir helfen wenn du einen Denkfehler hast   ─   maqu 27.05.2022 um 22:39
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Herzlich Willkommen auf mathefragen.de!

Stelle dir eine Gleichung wie eine Waage vor die im Gleichgewicht ist. Nimmt man auf der einen Seite etwas weg (oder fügt etwas hinzu), muss man das gleiche auf der anderen Seite auch tun damit die Waage im Gleichgewicht bleibt. Nehmen wir als Beispiel mal folgende Gleichung, wobei $x$ jetzt angenommen das unbekannte Gewicht eines Apfels (in Gramm) beschreibt:
\[100+3x=8x\]

Möchte man jetzt auf der linken Seite 3 Äpfel wegnehmen, muss man dies auf der anderen Seite auch tun. Also ergibt sich:
\[\begin{aligned}100+3x&=8x&& |-3x\\ 100+3x -3x&=8x-3x\\ 100&=5x\end{aligned}\]

Jetzt weiß man wie viel 5 Äpfel wiegen. Möchte man jetzt wissen wie viel ein Apfel wiegt, muss man nur noch ein Fünftel auf jeder Seite übrig lassen. Also folgt:
\[\begin{aligned} 100&=5\cdot x&& |\div 5\\100\div 5&=5\cdot x\div 5\\ 20&=x\end{aligned}\]
Prinziell gilt also, wenn du einen Term auf die andere Seite der Gleichung bringen möchtest macht man dies mit der Gegenoperation und muss dies auf beiden Seiten der Gleichung machen. Die aufgezeigten Zwischenschritte werden meist nicht mitgeschrieben. Aber für das Verständnis was man beim Äquivalenzumstellen von Gleichungen eigentlich macht ist es gut diese doch das ein oder andere mal mit aufzuschreiben, gerade wenn man es noch nicht durchblickt oder noch nicht so oft gemacht hat.

Beantwortet das deine Frage? Falls nicht, mache sie bitte wie karate geschrieben hat bitte nochmal an einem Beispiel deutlich.

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@frager: du möchtest also eine Quadratische Gleichung lösen, die karate in seiner Antwort eben so schön getext hatte? Falls ja, versuche den Hinweise aus meiner Antwort zu folgen und auf deine Gleichung anzuwenden. Bei quadratischen Gleichungen werden in der Regel alle Terme auf die rechte Seite der Gleichung gebracht, so dass man $0=\ldots$ erhält. Dann fasse alle Terme mit der gleichen Potenz zusammen. Ist dir klar wie du vorgehen musst?   ─   maqu 27.05.2022 um 22:37
Vielen Dank!Äquivalenzumformung verstehe ich soweit,frage mich aber wie bei meinem Beispiel aus 3c daraus ,,-3c” werden oder aus,,-1c2” ,,+1c2” … Diese Vorzeichen werden vertauscht und ich kann es mir nicht erklären :(   ─   user6957ad 28.05.2022 um 00:02
@frager: Mache Schritt für Schritt die Äquivalenzumstellung. In deinem Beispiel werden alle Terme auf die linke Seite der Gleichung gebracht. Wenn in deiner Ausgangsgleichung auf der rechten Seite $3c$ steht, dann ist das das gleiche wie $+3c$. Beim ersten Summanden wird das $+$ nicht mitgeschrieben. Das bringst du auf die linke Seite der Gleichung mit $-3c$. Mache das mit den restlichen Termen auf der rechten Seite genauso, dann kommst du auch drauf.   ─   maqu 28.05.2022 um 00:18
Danke!! Was wird mit ,,beim ersten Summand wird das + nicht mitgeschrieben “ gemeint?Und dann -3c?Das verstehe ich leider immer noch nicht…   ─   user6957ad 28.05.2022 um 00:45
Die Vorzeichen sind mein Hauptproblem aus minus wird auf einmal plus und aus plus minus :O   ─   user6957ad 28.05.2022 um 00:45
Damit meine ich man schreibt ja z.B. $3x+5$ und nicht $+3x+5$. ;)

Man benutzt beim Äquivalenzumstellen immer die Gegenoperation. Da das Subtrahieren ($-$) die Gegenoperation vom Addieren ($+$) ist, wird aus $3c$ (bzw. $+3c$ ;) ) dann $-3c$ auf der anderen Seite. Ich versuche in meinem Beispiel links keinen Term mit $x$ mehr zu haben. Deswegen rechne ich $-3x$, weil $+3x-3x=0$ wird. Also: $100 \underset{=0}{\underbrace{+3x-3x}}=\underset{=5x}{\underbrace{8x-3x}}$. Damit "eliminiere" ich den Term mit $x$ auf der linken Seite. Da ich aber $-3x$ auf beiden Seiten rechnen muss (Prinzip Waage und Gleichgewicht!!!) kommt jetzt auf der anderen Seite die Gegenoperation zu $+$, also $-$. Rechts werden denn lediglich noch die Terme mit $x$ zusammengefasst.   ─   maqu 28.05.2022 um 00:58
2c2-18=3c-1c2-9
=2c2-18-3c+1c2+9=0
Es wurde umgestellt…
Was hat man Schritt für Schritt ganz genau gemacht?   ─   user6957ad 28.05.2022 um 10:17
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Genau learning by doing! Ok also du hast $2c^2-18=3c-c^2-9$. Man möchte alle Terme von rechts nach links bringen. Der erste Schritt sollte doch jetzt klar sei, oder? Fang mit dem Term $3c$ an. Lese dazu nochmal meinen letzten Kommentar und auch meine Antwort durch.   ─   maqu 28.05.2022 um 13:15
Ok! Zuerst rechne ich minus 3c.
Also sind das:2c2-18-3c=-3c-9
Und dann????
   ─   user6957ad 28.05.2022 um 14:00
2c2-18=3c-c2-9 |-3c
=2c2-18-3c=-c2-9
Richtig?wie geht es dann weiter?verstehe das gar nicht   ─   user6957ad 28.05.2022 um 14:01
Also deine zweite Version ist korrekt, der erste Kommentar ist falsch. Nun machst du das gleiche mit $-c^2$ und $-9$ also du möchtest auf der rechten Seite $=0$ haben   ─   karate 28.05.2022 um 14:10
c2-18-3c-2c2-9? also wenn ich minus c2 rechne?   ─   user6957ad 28.05.2022 um 14:36
und dann c2-18-3c-2c2=0?wenn ich minus 9 rechne   ─   user6957ad 28.05.2022 um 14:36
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Nein. So wie Cauchy schon gesagt hat du rechnest eigentlich $+2c$. Stell dir immer eine Waage vor. Du musst auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Umformung machen. Na gut du hast nun die Gleichung $$2c^2-18-3c=-c^2-9$$Nun möchtest du die $-9$ auf der rechten Seite wegbekommen . Na gut das ist ja einfach denn wenn du die rechte Seite der Gleichung $+9$ rechnest dann fällt ja das $-9$ weg denn $$-c^2-9+9=-c^2$$ Okey also hast du nun gemerkt, dass du auf der rechten Seite $9$ addieren musst. Wenn du dir aber die Waage vorstellst, musst du auch auf der linken Seite $9$ addieren, sonst ist die Waage nicht im Gleichgewicht. Also machst du auch $$2c^2-18-3c+9=2c^2-9-3c$$ Gut und wenn du nun auf beiden Seiten die Addition gleichzeitig durchführst kommst du auf $$2c^2-9-3c=-c^2$$Das gleiche musst du nun noch mit $-c^2$ tun. Was bekommst du dann?   ─   karate 28.05.2022 um 15:51
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Ich lege dir wirklich ans Herz, dass du dir das Thema Gleichungen und Äquivalenzumformungen nochmals fest anschaust, denn wenn deine Mathekarriere noch ein wenig dauert wirst du diesen "Dingern" täglich begegnen und dann sollte das sitzen.   ─   karate 28.05.2022 um 15:52
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@karate @cauchy danke fürs helfen, ich war verhindert … @frager das Problem mit dem umstellen scheinst du schon länger mit dir herumzutragen wenn du jetzt bei quadratischen Gleichungen bist. Ich finde es aber gut das du hier mitmachst und auf unsere Hilfestellungen reagierst. Ich kann dir nur empfehlen jeden Schritt und auch die Zwischenschritte für den Anfang immer mitzuschreiben. Erst wenn du Äquivalenzumformen wirklich verstanden hast kannst du die Zwischenschritte getrost weglassen. Kannst du uns ein Feedback geben bis wohin genau du jetzt mitgekommen bist? Der erste Schritt ist klar oder noch nicht? Und der zweite Schritt ist durch karate seinen Kommentar verständlich oder auch noch nicht?   ─   maqu 28.05.2022 um 16:17
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Vielen Dank!Nach genauerem anschuen und üben habe ich alles verstanden!!!! :) Danke!   ─   user6957ad 28.05.2022 um 21:43
Freut mich das sich deine Frage anscheinend geklärt hat wie man darauf kommt. Für den Fall das du bei anderen Gleichungen mit dem umstellen auf ähnliche Probleme stößt, scheue nicht hier im Forum zu fragen!👍   ─   maqu 28.05.2022 um 21:51
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Kein Problem haben wir wirklich gerne gemacht. Ich hoffe wirklich dass es nun klar ist und ich würde dir vorschlagen noch weitere solche Aufgaben zu lösen. Und wie @maqu schon gesagt hat, falls es dann auch Probleme gibt, frag einfach wieder nach.   ─   karate 28.05.2022 um 22:32

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