Partieller Integration Integral Bestimmen

Erste Frage Aufrufe: 123     Aktiv: 12.01.2025 um 15:16

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Ich habe soweit den Ansatz, dass mein v'=x^2 und mein U=e^-x, demnach ist mein V=1/3x^3 und mein u'= -e^-x

- Dann habe ich mit der formel: U * V- ∫ -V * U'  -> (e^-x) * (1/3 x^3) ∫ (1/3 x^3)​ * (e^-x) dx.

Jz komm ich aber nicht weiter. :( 

Kann mir jemand Helafen ?
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Setze lieber $u=x^2$ und $v'=e^{-x}$. Dann integriere erst einmal partiell, was erhältst du? Und was könnte dann der nächste Schritt sein?
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Lehrer/Professor, Punkte: 9.03K

 

Also: ∫x²e⁻ˣ dx = (x²)(-e⁻ˣ) - ∫(2x)(-e⁻ˣ) dx, und dann bekomme ich:

∫x²e⁻ˣ dx = -x²e⁻ˣ + 2∫xe⁻ˣ dx
  ─   miwa 12.01.2025 um 13:37

ah und dann kann ich das Ergebnis von ∫xe⁻ˣ dx in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.   ─   miwa 12.01.2025 um 13:41

Nein, das kannst du nicht einsetzen. Aber du kannst was nochmal tun? Setze wieder $v'=e^{-x}$, aber diesmal $u=\ldots$? Und bei deinem Term $-x^2e^{-x}$ müsste man noch Grenzen einsetzen, falls vorhanden.   ─   maqu 12.01.2025 um 13:50

... und u= x also ist u'=1 und v= -e^-x

∫xe⁻ˣ dx = (x)(-e⁻ˣ) - ∫(1)(-e⁻ˣ) dx
∫xe⁻ˣ dx = -xe⁻ˣ + ∫e⁻ˣ dx
∫xe⁻ˣ dx = -xe⁻ˣ - e⁻ˣ

Dann muss doch Ergebnis von ∫xe⁻ˣ dx in ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden:

∫x²e⁻ˣ dx = -x²e⁻ˣ + 2(-xe⁻ˣ - e⁻ˣ)


und dann bin ich doch schon fertig ?
  ─   miwa 12.01.2025 um 14:02

Ob dein Ergebnis stimmt, kannst du durch die Probe selbst überprüfen, indem du dein Ergebnis ableitest. Aber ja, damit wirst du aufs Ergebnis kommen. Sofern hier allerdings nur das unbestimmte Integral bestimmt werden soll, fehlt noch der konstante Term am Ende. Beachte beim Zusammenfassen, in jedem Summanden steckt der Faktor $e^{-x}$. Diesen kannst du ausklammern und erhältst dann $\int x^2e^{-x} \text{d}x =(\ldots)\cdot e^{-x}+\ldots$   ─   maqu 12.01.2025 um 15:16

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