Integration durch Substitution ist empfehlenswert: \(u=x^3+1\), d.h. \(du =3x^2 dx\). Außerdem folgt aus x=1 sofort u=2 und aus x=0 folgt u=1. Also ergibt sich das Integral \(   \int_2^3 3 \ln u du \). Die 3 herausziehen und die angegebene Stammfunktion für ln nutzen. dann Grenzen einsetzen. das war's.

Übrigens, solche Subsuitution funktionieren immer, wenn man als Integrand eine Verkettung hat (hier \( \ln(x^3+1) \)) und im Integrand außerdem die Ableitung der inneren Funktion (hier bis auf die
3 als Faktor \(x^2\)) steht. Dazu mein Videotipp!

Du hast in Deiner Umformung von der ersten zur zweiten Zeile ein mal durch ein plus ersetzt, das erleichtert die Rechnung um einiges ;-). Und Du hast ja am Ende gar kein Integral mehr, als könntest Du leicht den Wert ohne TR ausrechnen (es kommt natürlich keine Zahl raus, sondern es kommen Brüche und ln's drin vor). Aber das Ergebnis wäre eben auch nicht richtig.
Am einfachsten ist hier - und so ist die Aufgabe vermutlich gemeint - eine naheliegende Substitution. Achtung: Grenzen müssen mittransformiert werden. Dann kann man auch schön den Hinweis anwenden und kommt ohne TR auf eine Ergebnis (wie gesagt, keine Zahl...).