Frage zu Integralrechnung

Aufrufe: 92     Aktiv: 26.08.2021 um 17:04

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Hallo ich hab ein Problem, ich soll folgende Aufgabe ohne Taschenrechner rechnen 

Mein aktueller Lösungsweg ist der:


Jetzt weiß ich nicht weiter wie ich die Integrale ausrechnen soll ohne ein Taschenrechner zu benutzen. Jetzt zu meiner Frage gibt es für diese Aufgabe ein anderen Weg diese zu berechnen oder habe ich nur was falsch gemacht?
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Wie ist die Umformung unter dem Integral in der vorletzten Zeile (die mit den Gänsefüßchen) entstanden?   ─   gamma02 26.08.2021 um 15:48

Warum ist in der Aufgabenstellung der Hinweis mit der Stammfunktion von ln?!
Versuch mal Integration durch Substitution. Tipp: Die innere Funktion des ln abgeleitet ist 3*x^2.
  ─   gamma02 26.08.2021 um 16:09
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2 Antworten
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Integration durch Substitution ist empfehlenswert: \(u=x^3+1\), d.h. \(du =3x^2 dx\). Außerdem folgt aus x=1 sofort u=2 und aus x=0 folgt u=1. Also ergibt sich das Integral \(   \int_2^3 3 \ln u du \). Die 3 herausziehen und die angegebene Stammfunktion für ln nutzen. dann Grenzen einsetzen. das war's.

Übrigens, solche Subsuitution funktionieren immer, wenn man als Integrand eine Verkettung hat (hier \( \ln(x^3+1) \)) und im Integrand außerdem die Ableitung der inneren Funktion (hier bis auf die
3 als Faktor \(x^2\)) steht. Dazu mein Videotipp!
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Danke für den Tipp ich werde es mal Probieren.   ─   mclinzwels 26.08.2021 um 17:04

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Du hast in Deiner Umformung von der ersten zur zweiten Zeile ein mal durch ein plus ersetzt, das erleichtert die Rechnung um einiges ;-). Und Du hast ja am Ende gar kein Integral mehr, als könntest Du leicht den Wert ohne TR ausrechnen (es kommt natürlich keine Zahl raus, sondern es kommen Brüche und ln's drin vor). Aber das Ergebnis wäre eben auch nicht richtig.
Am einfachsten ist hier - und so ist die Aufgabe vermutlich gemeint - eine naheliegende Substitution. Achtung: Grenzen müssen mittransformiert werden. Dann kann man auch schön den Hinweis anwenden und kommt ohne TR auf eine Ergebnis (wie gesagt, keine Zahl...).
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Stimmt danke für die Hilfe   ─   mclinzwels 26.08.2021 um 17:03

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