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Ich nehme mal an, du sollst die Funktionenfolge auf gleichmäßige Konvergenz überprüfen. Die Funktionenfolge konvergiert gegen
\(f\colon [-1,1]\to\mathbb R, \ x\mapsto\begin {cases}0&\text { falls } x=0\\1&\text { falls }x\neq0.\end {cases}\).
Diese Funktion ist nicht stetig, alle \(f_k\) sind es aber. Folglich kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein, denn gleichmäßige Limiten stetiger Funktionen sind stetig. Deshalb haben wir gleichmäßige Konvergenz ja überhaupt eingeführt.
Falls du die Aussage direkt mit der Definition zeigen möchtest, setze \(\varepsilon=\frac12\). Da \(f_k (0)=0, f_k (1)=1\) für alle \(k\), gibt es ein \(0 <x <1\) mit \(f_k (x)=\frac12\) nach dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen. Dann ist \(||f_k-f||_\infty\geq|f_k (x)-f (x)|=\frac12\geq\varepsilon.\)