Supremum Infimum einer Menge bestimmen

Aufrufe: 888     Aktiv: 15.11.2020 um 19:43
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Kann mir einer bitte hier zeigen, wie man bei so einer Aufgabe vorgehen muss, um das Supremum und Infimum zu bestimmen? Danke

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Student, Punkte: 122

 
hast du dir die beiden Mengen schonmal graphisch angeschaut?   ─   holly 12.11.2020 um 17:29
Die Menge A hat den niedrigsten Punkt bei n= 1 mit 0, aber dann steigt sie immer weiter ohne Ende. Wäre dann 0 das Infimum und das Supremum unendlich? Und n=1 wäre dann auch das Minimum?   ─   gaussgewehr 12.11.2020 um 17:32
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Ja, deine Intuition ist richtig. Jetzt musst Du es noch mathematisch beweisen. Zeige dazu bei der ersten Menge, dass \(0\) eine untere Schranke der Menge ist, d.h. dass alle Elemente der Menge größer oder gleich \(0\) sind. Da \(0\) für \(n=1\) angenommen wird, ist \(0\) ein Minimum der Menge, also auch das Infimum.

Um zu zeigen, dass das Supremum unendlich ist, musst Du zeigen, dass keine obere Schranke für die Menge existiert. Nimm dazu an, du hättest eine beliebige Zahl \(K\in\mathbb{R}\) gegeben bekommen. Beweise jetzt, dass es dann ein \(n\in\mathbb{N}\) gibt mit \((-1)^n+n> K\). Dann kann \(K\) keine obere Schranke sein. Es gibt also keine obere Schranke.

Hilft das?

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Lehrer/Professor, Punkte: 4K

 
Könnten Sie mir bitte die Aussage (-1)^n +n >K beweisen? Reicht es aus, dass man schreibt Limes von A(n) --> +unendlich für n gegen unendlich und deshalb kann es keine obere Schranke geben?   ─   gaussgewehr 15.11.2020 um 02:57
Sei \(K\in\mathbb{R}\). Für \(n\in\mathbb{N}\) mit \(n> K+1\) gilt dann \((-1)^n+n\ge -1+n>-1+K+1=K\), also \((-1)^n+n>K\). Da \(K\) beliebig in \(\mathbb{R}\) gewählt war, ist \(A\) nach oben unbeschränkt.   ─   slanack 15.11.2020 um 19:42

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