Zeigen Sie, dass (p0, p1, ... , pn) eine Basis von V ist

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Hallo!

Mich würde interessieren, wie ich dass genau zeigen muss/kann. Ich weiß zumindest, dass zwei Bedingungen erfüllt sein müssen:

(1) Lineare Unabhängigkeit der Vektoren
(2) Beliebiger Vektor mittels Basiselemente als Linearkombination darstellbar.

Das heißt für die Lineare Unabhängigkeit muss ich folgendes zeigen:  0 = λ1 * x1 + .... λn * xn

Aber wie gehe ich hier nun weiter vor? Wie funktioniert hier der Beweis? 

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Achtung, wir arbeiten hier mit Polynomabbildungen (der Nullvektor ist hier die Nullabbildung). Nun zur linearen Unabhängigkeit:
Sind \(\lambda_0, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{R}\) mit \(\sum_{k=0}^n \lambda_k p_k=0\) (Achtung 0 ist Nullabbildung), dann müssen alle \(\lambda_k=0\) sein. \(\sum_{k=0}^n \lambda_k p_k=0\) bedeutet aber, dass für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt  \(\sum_{k=0}^n \lambda_k p_k(x)=0\), das ist jetzt die Zahl 0.
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Student, Punkte: 8.15K

 

Also wenn ich das richtig verstehe, ein Nullpolynom hat ja unendlich viele Nullstellen, dass wissen wir weil λ0 = λ1 = λ2 = ... = λn = 0 wohingegen ein Polynom max. so viele Nullstellen hat wie sein Grad ist. Und nachdem es sich um ein Nullpolynom handelt, müssen die Monome also 1, x, .... , x^n linear unabhängig sein, oder?

Das (2) müssen wir ja gar nicht erst zeigen, denn es ist ja klar, dass jedes Polynom eine Linearkombination von Monomen ist.

  ─   bitcoin33 13.05.2022 um 19:13

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Ganz genau, das ist eine sehr gute Begründung für die lineare Unabhängigkeit. Auch mit EZS hast du recht, ich weiß nur nicht wie streng kontrolliert wird. Aber wenn du so schreibst wie gerade, würde ich dir alle Punkte geben.   ─   mathejean 13.05.2022 um 20:04

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Ein lang ersehntes Träumchen geht zum ersten Mal in Erfüllung: Alle Punkte in Mathe, yay! :'D
Darf ich noch ganz kurz fragen, wie das wäre wenn man zusätzlich noch zeigen müsste, dass Dim V = ∞ ist?
Würde da die Argumentation reichen, wenn ich sage, dass das Nullpolynom unendlich viele Nullstellen?
  ─   bitcoin33 14.05.2022 um 09:31

Halt! Die Dimension ist die Länge einer Basis (mit ein bisschen Arbeit kann man zeigen, dass jede Basis im endlichdimensionalen gleiche Länge hat, dass sagt das Lemma von Steinitz), und unsere Basis hat ja \(n+1\) Vektoren, also Dimension ist \(n+1\). Würden wir Vektorraum aller Polynome nehmen, wäre unendlich Dimensional. Hier ein einfaches Beispiel einer sehr ähnlichen Aufgabe (dachte zuerst ihr seit die gleichen :D): https://www.mathefragen.de/frage/q/af3d4f5cef/bestimmen-sie-jeweils-eine-basis-von-polgr-und-polur/   ─   mathejean 14.05.2022 um 09:45

Oh, ich glaube langsam haben meine mathematischen Kenntnisse das Ende erreicht... :D

Aber wenn unsere Basis ja die Länge n+1 hat, dann heißt es im Prinzip, dass dim V != ∞ ist, oder? Allerdings weiß ich auch, dass Polynome 1, x, x^2, ... vom Grade 0, 1, 2, 3, .... eine Basis im Raum aller reellen Polynome bilden. Und die ist ja unendlich. Aber ich verstehe immer noch nicht ganz, wie man das zeigen kann.

Denn ich habe hier noch eine weitere Aufgabe, die wie gefolgt lautet:

---------------------------------------------
Sei V = {f | f : R → R Funktion}.
Zeigen Sie, dass dim V = ∞.
(Hinweis: Verwenden Sie die Funktionen p0, p1, . . . , pn, . . . des vorigen Beispiels.)
---------------------------------------------

Und wenn ich es richtig verstanden habe, dann zeigt die Aufgabe (von der Person, die mit mir zum Verwechseln ähnlich ist :D), dass die Länge der Basen im Prinzip gleich lang sind.
  ─   bitcoin33 14.05.2022 um 14:30

"Länge der Basis" solltest Du Dir gar nicht angewöhnen. Der richtige Begriff ist "Dimension ist die Anzahl der Elemente in einer Basis".
Und ich würde nicht volle Punkte geben, weil mir die Begründung, dass alle $\lambda$'s =0 sind, fehlt. Du scheinst zu benutzen, dass das der Fall ist. Das ist aber zu zeigen.
  ─   mikn 14.05.2022 um 14:49

Naja er hat richtig argumentiert, dass es Nullpolynom ist und Nullpolynom ist das Polynom mit alle Koeffizienten 0.   ─   mathejean 14.05.2022 um 15:15

Die Begründung sehe ich nicht. Einfach sagen, dass alle Koeff. 0 sind, reicht nicht. Du (@mathejean) benutzt das Argument, dass es eine Basis ist. Das geht hier nicht.. Es ist zu zeigen, dass es keine andere Wahl von Koeffizienten gibt.   ─   mikn 14.05.2022 um 15:31

Erstes Argument ist, dass es das Nullpolynom ist. Nach Definition sind beim Nullpolynom alle Koeffizienten 0   ─   mathejean 14.05.2022 um 15:33

@mathejean: Nein. Das geht nicht. Es könnten ja auch andere Koeffizienten möglich sein (ja, alle =0 geht, aber warum die andere Möglichkeit nicht?).   ─   mikn 14.05.2022 um 15:37

Nullelement ist eindeutig bestimmt   ─   mathejean 14.05.2022 um 15:38

Das Nullelement ja, aber hier geht es um die Darstellung als Linearkombination.   ─   mikn 14.05.2022 um 15:51

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Okay, ich verstehe worauf du hinauswillst. Die Argumentation ist ein bisschen Schumelei, weil wir im Polynomring (in Charakteristik 0 isomorph zu Polynomabbildungring) argumentieren, wir haben ja nicht nur ein Vektorraum, sondern eine \(\mathbb{R}\)-Algebra und nutzen im Hinterkopf Polynome als Folgen definiert.
Aber ich sehe selber, dass so nicht gut ist für Anfänger, weil Anfänger diese Strukturen nicht sehen und dann tatsächlich falsch argumentieren. Danke!
  ─   mathejean 14.05.2022 um 16:01

Das heißt für mich jetzt, dass ich mehr Arbeit habe, oder? Da ich jetzt zeigen soll, dass alle λ's = 0 sind. :D

  ─   bitcoin33 14.05.2022 um 16:09

Sorry, dass ich mich auch einmische, aber am einfachsten ist das doch per Induktion zu zeigen, oder nicht? Dann wird's auch nicht zu kompliziert...
  ─   fix 14.05.2022 um 16:40

Hm, aber ich weiß leider nicht genau wie ich das mit der Induktion am Besten zeigen soll. Sieht dann die Induktionsbasis so aus:

Angenommen λ = 0
Sei n = 0

[Summe k = 0 bis n] λ0p0 = 0 * 1 = 0


  ─   bitcoin33 14.05.2022 um 20:01

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Das funktioniert leider nicht, du hast ja gerade das angenommen, was du zeigen sollst. Ich würde es wie folgt machen:
Sei \(V=\{p|p:R \rightarrow R \text{ ein Polynom}, \text{ grad}(p)\le n\}\). Dann ist mit Induktion über n:
n=1: \(\lambda_0+\lambda_1x=0\) folgt z.B. für x=0, dass \(\lambda_0=0\) und dann mit \(x\neq0\) auch, dass \(\lambda_1=0\).
\(n\rightarrow n+1\): Sei (nach Induktionsannahme) \(\sum_{i=0}^n\lambda_ix^i=0 \Rightarrow \lambda_i=0\). Dann gilt \(\sum_{i=0}^n\mu_ix^i=\mu_{n+1}x^{n+1}\). Wenn man sich den Grad der Polynome anschaut, erkennt man, dass \(\mu_{n+1}=0\) gelten muss, da sonst grad(LHS) \(\neq\) grad(RHS). Dann folgt \(\sum_{i=0}^{n}\mu_ix^i=0\) und nach Induktionsannahme \(\mu_i=0\).
  ─   fix 14.05.2022 um 20:27

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@fix: Auch hier ist das Problem: woher weißt Du dieses "da sonst grad...."? Da benutzt Du auch wieder, dass die Darstellung eines Polynoms in den Monomen (die nachzuweisende Basis) eindeutig ist. Das ist nun gerade die Basis-Eigenschaft.   ─   mikn 14.05.2022 um 23:41

Es kommt hier darauf an, auf welche Resultate zu diesem Thema aus der Lehrveranstaltung zurückgegriffen werden kann. Diese sollte der Frager mal auflisten.   ─   mikn 14.05.2022 um 23:57

@fix
Tut mir leid, dass ich mich erst jetzt wieder melde, aber ich hätte eine kurze Frage:
Ist der grad von LHS, also grad(LHS) = n, oder? Und grad(RHS) = n+1? Ist das richtig?
  ─   bitcoin33 18.05.2022 um 21:45

Wie ich oben erklärt habe, funktioniert der Beweis so nicht. In Skripten findet man andere Beweise, den einfachsten hab ich Dir unten in meiner Antwort erklärt. Es gibt auch einen Beweis mit Induktion, der ist aber komplizierter (braucht ein Stetigkeitsargument).   ─   mikn 18.05.2022 um 21:54

Es wäre echt interessant zu erfahren, wie es in der Musterlösung gelöst wurde. Ich vermute ja es ist eine Aufgabe aus LinA 1 und ich glaube nicht, dass man hier mit Differenzierbarkeit oder ähnliches argumentieren soll.   ─   mathejean 19.05.2022 um 09:06

@mathejean Ich habe keine algebraischen Beweise dazu gefunden. In Skripten hab ich nur die genannten analytischen gefunden.   ─   mikn 19.05.2022 um 12:35

Ja, algebraisch definiert man Polynome üblicherweise als Folgen die fast überall verschwinden und identifiziert dann z.B. \((0,1,0,0,\ldots)\) mit \(X\) und für Körper \(K\) mit unendlich vielen Elementen (auch Charakteristik ungleich 0) ist dann \(K[X]\) isomorph zum Ring der Polynomfunktionen. Sowas wird aber teilweise auch erst in LinA 2 gemacht, weil man erst dann wirklich Polynome braucht, deshalb @bitcoin gerne später auflösen, ob man sich hier überhaupt so viele Gedanken machen sollte   ─   mathejean 19.05.2022 um 12:44

@mathejean
Klar, und zwar war die Lösung ganz Anfang, die wir zusammen ausarbeitet haben, die war richtig, also:

p(x) = λ0 + λ1x + ... + λnx^n = 0 ∀x ∈ ℝ
hat zur Folge, dass das Polynom p unendlich viele verschiedene Nullstellen hat. Da ein Polynom ungleich dem Nullpolynom aber nur max. so viele Nullstellen hat, wie sein Grad ist, muss p das Nullpolynom sein d.h. die Monome sind 1, x, ..., x^n sind linear unabhängig.

Ich weiß nicht warum, @mikn behauptet hat, dass man hier zeigen müsste, dass alle λ's = 0 sein müssen? Mein Professor meinte auch, dass es eigentlich überflüssig ist und es nicht zu zeigen ist....


  ─   bitcoin33 vor 6 Tagen, 13 Stunden

Okay, dann habt ihr euch nicht so viele Gedanken über die Aufgabe gemacht wie wir. Aus algebraischer Sicht ist hier auch wirklich nichts zu zeigen, weil Polynome im Grundegenommen genau so definiert werden (dann reden wir aber schon über Universelle Eigenschaften). mikn hat aber gut aufgepasst, weil es in der Aufgabe um Polynomfunktionen und nicht um Polynome geht und hier muss anders argumentiert werden, weil vielleicht garnicht Polynom im eigentlichen Sinne definiert ist und man dann zeigen muss, dass hier eine Nullabbildung vorliegt. Spätestens in Lineare Algebra 2 wirst du aber mit "richtigen Polynomen" arbeiten, wie sie in der Algebra untersucht werden. Diese Unterscheidung ist sehr wichtig, weil wir so der Polynomring über einem Körper (allgemeiner Integritätsbereich) keine Nullteiler hat. Schaut man sich Polynomaabildungen von \(\mathbb{F}_2\to \mathbb{F}_2 \) an, findet man allerdings schnell Nullteiler.

Es ist aufjedenfall sehr nett, dass du dich rückmeldest, weil wir jetzt so wissen, dass man sich hierüber keine Gedanken machen sollte. Das war auch mein erstes Gefühl, weil du sollst hier ja Vektorräume lernen und nicht technische Schwierigkeiten von Polynomen und Polynomaabildungen.
  ─   mathejean vor 6 Tagen, 12 Stunden

Ich hab vor allem gesagt, es hängt davon ab, welche Resultate Ihr in der Vorlesung dazu hattet. Dazu hast Du bisher nichts gesagt. Der Satz zu Anzahl Nullstellen und Grad ändert die Lage (und habt Ihr den denn bewiesen?). Und natürlich muss man stets zeigen, dass alle lambda's 0 sind. Das weiß Dein Prof auch.   ─   mikn vor 6 Tagen, 12 Stunden

@mathejean
Ich habe mir zuerst auch gedacht, dass der Professor hier möglicherweise mehr sehen möchte statt nur eine kleine
Argumentation, die man aus der Definition leicht herleiten kann. War für mich halt irgendwie ungewöhnlich. Aber interessant zu wissen,
dass es verschiedene Beweise gibt abhängig davon wie der Polynomraum definiert wurde und vor allem ob es sich um "richtige Polynome" handelt.
Nächstes Semester habe ich keine Lineare Algebra mehr (leider), aber ganz unverschont bleibe ich trotzdem
nicht mit der Mathematik. :/


@mikn
Ich habe bis jetzt keine Definition gefunden bezüglich Polynome im Skript von meinem Professor, ich denke, dass
hat die ganze Sache um einiges schwieriger gemacht... leider. Er meinte zwar, dass es nicht nötig sei, aber vielleicht habe
ich es auch falsch verstanden, so dass er meinte es sei bei DIESER Aufgabe nicht nötig?
  ─   bitcoin33 vor 6 Tagen, 12 Stunden

Man kann es eben NICHT aus der Def leicht herleiten, und das hat Dein Prof auch nicht gemacht. Du hast den Beweis noch nicht wirklich verstanden. Man braucht diesen Satz, nach dem ich gerade nochmal gefragt habe. Und zu den lambda's: Auch hier ist nötig, zu zeigen, dass alle lambda's 0 sind. Was Dein Prof meint, ist, dass das klar ist, wenn wir wissen, dass es das Nullpolynom ist (und wir wissen, dass die Koeffizienten eindeutig sind). Man braucht hier eben einige von Dir nicht erwähnte Resultate.
Schau Dir den Beweis Deines Profs nochmal genau an: Was ist zu zeigen? Welche Resultate aus der Vorlesung werden an welcher Stelle benötigt?
Ein Beweis ist ein Zurückführen eines Satzes auf bereits bewiesene Sätze. Diese bereits bewiesenen Sätze waren uns nicht bekannt.
  ─   mikn vor 6 Tagen, 12 Stunden

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Mach Dir zunächst mal klar, was überhaupt zu zeigen ist:
"...muss ich folgendes zeigen: $0=\lambda_1x^1+...\lambda_nx^n$."
Das jedenfalls nicht, und es ist auch math. gar keine beweisbare Aussage, weil Angaben zu den $\lambda$'s und $x$ fehlen. Davon abgesehen, dass ein Monom fehlt.
Zu zeigen ist (schreib es mal richtig und vollständig aus Deinen Unterlagen ab, nicht nur nachlesen, abschreiben!):
Für alle $\lambda_0,...,\lambda_n$ gilt: Wenn $\sum\lambda_i x^i = 0$ für alle $x$ gilt, dann folgt $\lambda_i=0$ für alle $i$.
Jedes einzelne Wort ist hier wichtig. Insb. das wenn-dann.
Also (erst weiterlesen, wenn Du das obige 100%ig verstanden hast, sonst sinnlos):
Sei also $\lambda_0,...,\lambda_n$ und  $\sum\lambda_i\cdot x^i = 0$ für alle $x$. Sei $p(x):=\sum\lambda_i\cdot x^i$. Dann folgt leicht durch Einsetzen geeigneter Werte (welche?) $\lambda_0=0$. $p$ ist differenzierbar, und da $p(x)=0$ für alle $x$, ist auch $p'(x)=0$ für alle $x$. Einsetzen geeigneter Werte liefert usw.



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