Question

Zeigen Sie, dass (p0, p1, ... , pn) eine Basis von V ist

Aufrufe: 736 Aktiv: 20.05.2022 um 12:56

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Hallo!

Mich würde interessieren, wie ich dass genau zeigen muss/kann. Ich weiß zumindest, dass zwei Bedingungen erfüllt sein müssen:

(1) Lineare Unabhängigkeit der Vektoren
(2) Beliebiger Vektor mittels Basiselemente als Linearkombination darstellbar.

Das heißt für die Lineare Unabhängigkeit muss ich folgendes zeigen: 0 = λ1 * x1 + .... λn * x^{n

Aber wie gehe ich hier nun weiter vor? Wie funktioniert hier der Beweis?}

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gefragt 13.05.2022 um 14:21

bitcoin33
Punkte: 14

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2 Antworten

mathejean · Answer 1 · 2022-05-13T15:15:09Z

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Achtung, wir arbeiten hier mit Polynomabbildungen (der Nullvektor ist hier die Nullabbildung). Nun zur linearen Unabhängigkeit:
Sind $\lambda_0, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{R}$ mit $\sum_{k=0}^n \lambda_k p_k=0$ (Achtung 0 ist Nullabbildung), dann müssen alle $\lambda_k=0$ sein. $\sum_{k=0}^n \lambda_k p_k=0$ bedeutet aber, dass für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt $\sum_{k=0}^n \lambda_k p_k(x)=0$, das ist jetzt die Zahl 0.

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geantwortet 13.05.2022 um 15:15

mathejean
Student, Punkte: 10.37K

Also wenn ich das richtig verstehe, ein Nullpolynom hat ja unendlich viele Nullstellen, dass wissen wir weil λ0 = λ1 = λ2 = ... = λn = 0 wohingegen ein Polynom max. so viele Nullstellen hat wie sein Grad ist. Und nachdem es sich um ein Nullpolynom handelt, müssen die Monome also 1, x, .... , x^n linear unabhängig sein, oder?

Das (2) müssen wir ja gar nicht erst zeigen, denn es ist ja klar, dass jedes Polynom eine Linearkombination von Monomen ist.

─ bitcoin33 13.05.2022 um 19:13

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Ganz genau, das ist eine sehr gute Begründung für die lineare Unabhängigkeit. Auch mit EZS hast du recht, ich weiß nur nicht wie streng kontrolliert wird. Aber wenn du so schreibst wie gerade, würde ich dir alle Punkte geben. ─ mathejean 13.05.2022 um 20:04

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Ein lang ersehntes Träumchen geht zum ersten Mal in Erfüllung: Alle Punkte in Mathe, yay! :'D
Darf ich noch ganz kurz fragen, wie das wäre wenn man zusätzlich noch zeigen müsste, dass Dim V = ∞ ist?
Würde da die Argumentation reichen, wenn ich sage, dass das Nullpolynom unendlich viele Nullstellen?
─ bitcoin33 14.05.2022 um 09:31

Halt! Die Dimension ist die Länge einer Basis (mit ein bisschen Arbeit kann man zeigen, dass jede Basis im endlichdimensionalen gleiche Länge hat, dass sagt das Lemma von Steinitz), und unsere Basis hat ja $n+1$ Vektoren, also Dimension ist $n+1$. Würden wir Vektorraum aller Polynome nehmen, wäre unendlich Dimensional. Hier ein einfaches Beispiel einer sehr ähnlichen Aufgabe (dachte zuerst ihr seit die gleichen :D): https://www.mathefragen.de/frage/q/af3d4f5cef/bestimmen-sie-jeweils-eine-basis-von-polgr-und-polur/ ─ mathejean 14.05.2022 um 09:45

Oh, ich glaube langsam haben meine mathematischen Kenntnisse das Ende erreicht... :D

Aber wenn unsere Basis ja die Länge n+1 hat, dann heißt es im Prinzip, dass dim V != ∞ ist, oder? Allerdings weiß ich auch, dass Polynome 1, x, x^2, ... vom Grade 0, 1, 2, 3, .... eine Basis im Raum aller reellen Polynome bilden. Und die ist ja unendlich. Aber ich verstehe immer noch nicht ganz, wie man das zeigen kann.

Denn ich habe hier noch eine weitere Aufgabe, die wie gefolgt lautet:

---------------------------------------------
Sei V = {f | f : R → R Funktion}.
Zeigen Sie, dass dim V = ∞.
(Hinweis: Verwenden Sie die Funktionen p0, p1, . . . , pn, . . . des vorigen Beispiels.)
---------------------------------------------

Und wenn ich es richtig verstanden habe, dann zeigt die Aufgabe (von der Person, die mit mir zum Verwechseln ähnlich ist :D), dass die Länge der Basen im Prinzip gleich lang sind.
─ bitcoin33 14.05.2022 um 14:30

Naja er hat richtig argumentiert, dass es Nullpolynom ist und Nullpolynom ist das Polynom mit alle Koeffizienten 0. ─ mathejean 14.05.2022 um 15:15

Erstes Argument ist, dass es das Nullpolynom ist. Nach Definition sind beim Nullpolynom alle Koeffizienten 0 ─ mathejean 14.05.2022 um 15:33

Nullelement ist eindeutig bestimmt ─ mathejean 14.05.2022 um 15:38

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Okay, ich verstehe worauf du hinauswillst. Die Argumentation ist ein bisschen Schumelei, weil wir im Polynomring (in Charakteristik 0 isomorph zu Polynomabbildungring) argumentieren, wir haben ja nicht nur ein Vektorraum, sondern eine $\mathbb{R}$-Algebra und nutzen im Hinterkopf Polynome als Folgen definiert.
Aber ich sehe selber, dass so nicht gut ist für Anfänger, weil Anfänger diese Strukturen nicht sehen und dann tatsächlich falsch argumentieren. Danke! ─ mathejean 14.05.2022 um 16:01

Das heißt für mich jetzt, dass ich mehr Arbeit habe, oder? Da ich jetzt zeigen soll, dass alle λ's = 0 sind. :D

─ bitcoin33 14.05.2022 um 16:09

Sorry, dass ich mich auch einmische, aber am einfachsten ist das doch per Induktion zu zeigen, oder nicht? Dann wird's auch nicht zu kompliziert...
─ fix 14.05.2022 um 16:40

Hm, aber ich weiß leider nicht genau wie ich das mit der Induktion am Besten zeigen soll. Sieht dann die Induktionsbasis so aus:

Angenommen λ = 0
Sei n = 0

[Summe k = 0 bis n] λ0p0 = 0 * 1 = 0

─ bitcoin33 14.05.2022 um 20:01

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Das funktioniert leider nicht, du hast ja gerade das angenommen, was du zeigen sollst. Ich würde es wie folgt machen:
Sei $V=\{p|p:R \rightarrow R \text{ ein Polynom}, \text{ grad}(p)\le n\}$. Dann ist mit Induktion über n:
n=1: $\lambda_0+\lambda_1x=0$ folgt z.B. für x=0, dass $\lambda_0=0$ und dann mit $x\neq0$ auch, dass $\lambda_1=0$.
$n\rightarrow n+1$: Sei (nach Induktionsannahme) $\sum_{i=0}^n\lambda_ix^i=0 \Rightarrow \lambda_i=0$. Dann gilt $\sum_{i=0}^n\mu_ix^i=\mu_{n+1}x^{n+1}$. Wenn man sich den Grad der Polynome anschaut, erkennt man, dass $\mu_{n+1}=0$ gelten muss, da sonst grad(LHS) $\neq$ grad(RHS). Dann folgt $\sum_{i=0}^{n}\mu_ix^i=0$ und nach Induktionsannahme $\mu_i=0$. ─ fix 14.05.2022 um 20:27

@fix
Tut mir leid, dass ich mich erst jetzt wieder melde, aber ich hätte eine kurze Frage:
Ist der grad von LHS, also grad(LHS) = n, oder? Und grad(RHS) = n+1? Ist das richtig? ─ bitcoin33 18.05.2022 um 21:45

Es wäre echt interessant zu erfahren, wie es in der Musterlösung gelöst wurde. Ich vermute ja es ist eine Aufgabe aus LinA 1 und ich glaube nicht, dass man hier mit Differenzierbarkeit oder ähnliches argumentieren soll. ─ mathejean 19.05.2022 um 09:06

Ja, algebraisch definiert man Polynome üblicherweise als Folgen die fast überall verschwinden und identifiziert dann z.B. $(0,1,0,0,\ldots)$ mit $X$ und für Körper $K$ mit unendlich vielen Elementen (auch Charakteristik ungleich 0) ist dann $K[X]$ isomorph zum Ring der Polynomfunktionen. Sowas wird aber teilweise auch erst in LinA 2 gemacht, weil man erst dann wirklich Polynome braucht, deshalb @bitcoin gerne später auflösen, ob man sich hier überhaupt so viele Gedanken machen sollte ─ mathejean 19.05.2022 um 12:44

@mathejean
Klar, und zwar war die Lösung ganz Anfang, die wir zusammen ausarbeitet haben, die war richtig, also:

p(x) = λ0 + λ1x + ... + λnx^n = 0 ∀x ∈ ℝ
hat zur Folge, dass das Polynom p unendlich viele verschiedene Nullstellen hat. Da ein Polynom ungleich dem Nullpolynom aber nur max. so viele Nullstellen hat, wie sein Grad ist, muss p das Nullpolynom sein d.h. die Monome sind 1, x, ..., x^n sind linear unabhängig.

Ich weiß nicht warum, @mikn behauptet hat, dass man hier zeigen müsste, dass alle λ's = 0 sein müssen? Mein Professor meinte auch, dass es eigentlich überflüssig ist und es nicht zu zeigen ist....

─ bitcoin33 20.05.2022 um 12:04

Okay, dann habt ihr euch nicht so viele Gedanken über die Aufgabe gemacht wie wir. Aus algebraischer Sicht ist hier auch wirklich nichts zu zeigen, weil Polynome im Grundegenommen genau so definiert werden (dann reden wir aber schon über Universelle Eigenschaften). mikn hat aber gut aufgepasst, weil es in der Aufgabe um Polynomfunktionen und nicht um Polynome geht und hier muss anders argumentiert werden, weil vielleicht garnicht Polynom im eigentlichen Sinne definiert ist und man dann zeigen muss, dass hier eine Nullabbildung vorliegt. Spätestens in Lineare Algebra 2 wirst du aber mit "richtigen Polynomen" arbeiten, wie sie in der Algebra untersucht werden. Diese Unterscheidung ist sehr wichtig, weil wir so der Polynomring über einem Körper (allgemeiner Integritätsbereich) keine Nullteiler hat. Schaut man sich Polynomaabildungen von $\mathbb{F}_2\to \mathbb{F}_2 $ an, findet man allerdings schnell Nullteiler.

Es ist aufjedenfall sehr nett, dass du dich rückmeldest, weil wir jetzt so wissen, dass man sich hierüber keine Gedanken machen sollte. Das war auch mein erstes Gefühl, weil du sollst hier ja Vektorräume lernen und nicht technische Schwierigkeiten von Polynomen und Polynomaabildungen.

Okay, dann habt ihr euch nicht so viele Gedanken über die Aufgabe gemacht wie wir. Aus algebraischer Sicht ist hier auch wirklich nichts zu zeigen, weil Polynome im Grundegenommen genau so definiert werden (dann reden wir aber schon über Universelle Eigenschaften). mikn hat aber gut aufgepasst,  weil es in der Aufgabe um Polynomfunktionen und nicht um Polynome geht und hier muss anders argumentiert werden, weil vielleicht garnicht Polynom im eigentlichen Sinne definiert ist und man dann zeigen muss, dass hier eine Nullabbildung vorliegt. Spätestens in Lineare Algebra 2 wirst du aber mit "richtigen Polynomen" arbeiten, wie sie in der Algebra untersucht werden. Diese Unterscheidung ist sehr wichtig, weil wir so der Polynomring über einem Körper (allgemeiner Integritätsbereich) keine Nullteiler hat. Schaut man sich Polynomaabildungen von $\mathbb{F}_2\to \mathbb{F}_2 $ an, findet man allerdings schnell Nullteiler.

Es ist aufjedenfall sehr nett, dass du dich rückmeldest,  weil wir jetzt so wissen, dass man sich hierüber keine Gedanken machen sollte. Das war auch mein erstes Gefühl,  weil du sollst hier ja Vektorräume lernen und nicht technische Schwierigkeiten von Polynomen und Polynomaabildungen.

─ mathejean 20.05.2022 um 12:14

@mathejean
Ich habe mir zuerst auch gedacht, dass der Professor hier möglicherweise mehr sehen möchte statt nur eine kleine
Argumentation, die man aus der Definition leicht herleiten kann. War für mich halt irgendwie ungewöhnlich. Aber interessant zu wissen,
dass es verschiedene Beweise gibt abhängig davon wie der Polynomraum definiert wurde und vor allem ob es sich um "richtige Polynome" handelt.
Nächstes Semester habe ich keine Lineare Algebra mehr (leider), aber ganz unverschont bleibe ich trotzdem
nicht mit der Mathematik. :/

@mikn
Ich habe bis jetzt keine Definition gefunden bezüglich Polynome im Skript von meinem Professor, ich denke, dass
hat die ganze Sache um einiges schwieriger gemacht... leider. Er meinte zwar, dass es nicht nötig sei, aber vielleicht habe
ich es auch falsch verstanden, so dass er meinte es sei bei DIESER Aufgabe nicht nötig? ─ bitcoin33 20.05.2022 um 12:42

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mikn · Answer 2 · 2022-05-15T12:41:09Z

Mach Dir zunächst mal klar, was überhaupt zu zeigen ist:
"...muss ich folgendes zeigen: $0=\lambda_1x^1+...\lambda_nx^n$."
Das jedenfalls nicht, und es ist auch math. gar keine beweisbare Aussage, weil Angaben zu den $\lambda$'s und $x$ fehlen. Davon abgesehen, dass ein Monom fehlt.
Zu zeigen ist (schreib es mal richtig und vollständig aus Deinen Unterlagen ab, nicht nur nachlesen, abschreiben!):
Für alle $\lambda_0,...,\lambda_n$ gilt: Wenn $\sum\lambda_i x^i = 0$ für alle $x$ gilt, dann folgt $\lambda_i=0$ für alle $i$.
Jedes einzelne Wort ist hier wichtig. Insb. das wenn-dann.
Also (erst weiterlesen, wenn Du das obige 100%ig verstanden hast, sonst sinnlos):
Sei also $\lambda_0,...,\lambda_n$ und $\sum\lambda_i\cdot x^i = 0$ für alle $x$. Sei $p(x):=\sum\lambda_i\cdot x^i$. Dann folgt leicht durch Einsetzen geeigneter Werte (welche?) $\lambda_0=0$. $p$ ist differenzierbar, und da $p(x)=0$ für alle $x$, ist auch $p'(x)=0$ für alle $x$. Einsetzen geeigneter Werte liefert usw.