Question

Partialbruchzerlegung

Aufrufe: 1094 Aktiv: 14.08.2019 um 10:46

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Hallo,

ich habe eine Frage zum Ansatz bei der Partialbruchzerlegung.

Angenommen zwei der Nullstellen meines Nenners wären +2 und - 2. Da es sich um reelle Nullstellen handelt, würde mein Ansatz lauten: A/(x-2) + B/(x+2)

Laut Fundamentalsatz der Algebra habe ich hier aber auch zwei komplexe Nullstellen. Folglich sollte ich den Ansatz für komplexe Nullstellen wählen können; hier: (Ax+B) /(x^2-4)

Meine Frage lautet, ob ich theoretisch immer den Ansatz für komplexe Nullstellen wählen kann und wenn ja, was der Nachteil wäre? Hier würde es der Ansatz für reelle Nullstellen leichter machen, den Bruch zu integrieren.

Vielen Dank!

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gefragt 11.08.2019 um 09:53

simonm
Student, Punkte: 15

Mit einem konkreten Beispiel ist das besser zu verstehen. Welche Funktion willst du denn genau reell oder komplex zerlegen. ─ vt5 11.08.2019 um 10:22

Die konkrete Funktion weiß ich leider nicht mehr, da es eine Klausuraufgabe war.
Der Nenner war aber (x^3 + x^2 - 4x - 4). Also nach Polynomdivision (x+1)(x^2-4) = (x+1)(x-2)(x+2)

Theoretisch müsste es ja auch richtig sein, wenn man hier komplex zerlegt, obwohl man drei reelle Nullstellen hat, oder?

Bei der Integration sollte es zu Problemen kommen, weil man für den dritten Bruch den Ansatz Integration(dx/(a^2 + x^2)) benötigt, hier dann aber a=sqrt(-4) braucht ─ simonm 11.08.2019 um 11:42

Vielleicht verstehe ich dich auch einfach falsch, aber es gibt doch keine komplexen Nullstellen von (x^2-4)...
Lies mal das: zum Ende hin sollte deine Frage beantwortet werden, ich empfehle aber für die meisten Verwendungszwecke bis zum Ende zu zerlegen.

https://www.onlinemathe.de/forum/komplexe-nullstellen-partialbruchzerlegung ─ vt5 11.08.2019 um 11:53

Der Fundamentalsatz der Algebra sagt doch aus, dass jede ganztationale Gleichung n-ten Grades genau n-Lösungen hat. Daraus schließe ich, dass die gleichung x^2-4 = 0 genau zwei komplexe Lösungen und höchstens zwei reelle Lösungen hat. Hier also sowohl zwei komplexe, als auch zwei reelle ─ simonm 11.08.2019 um 12:17

Habe gerade deinen Link gesehen, werde es mal durchlesen. Auf den ersten Blick wird da aber genau die Frage gestellt, die ich selber habe. Danke! ─ simonm 11.08.2019 um 12:18

Ja aber jede reelle Zahl ist auch eine Komplexe Zahl, nur ohne Imaginärteil. Die Lösungen sind also immer noch 2 und -2 was gleichbedeutend ist mit `2+0i` und `-2+0i`, das sind aber für den normalen Anwender eher reelle Zahlen, obwohl du sie natürlich im Allgemeinen auch komplex nennen darfst. Aber es sind eben nicht die komplexen Zahlen, die du normalerweise speziell bei der Partialbruchzerlegung hast. ─ vt5 11.08.2019 um 12:21

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2 Antworten

wirkungsquantum · Answer 1 · 2019-08-11T13:18:37Z

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Hallo,

der Fundamentalsatz der Algebra trifft keine Aussage über die konkrete Anzahl der Nullstellen. Die Gleichung \( (x-1)^2=0 \) beispielsweise hat nur eine Nullstelle, weil 1 eine doppelte Nullstelle ist. Der Fundamentalsatz der Algebra sagt lediglich, dass es mindestens eine Nullstelle geben muss.

Die verallgemeinerte Betrachtung gegen Gleichungen auf \( \mathbb{R} \) liegt jetzt nur daran, das selbst Gleichungen wie \(x^2+1=0 \) eine Lösung haben. Das heißt aber nicht das man eine komplexe Lösungen "erzwingt", wie im Beispiel des oberen Absatzes.

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geantwortet 11.08.2019 um 13:18

wirkungsquantum
Student, Punkte: 2.46K

Du hast recht, aber der Fundamentalsatz über die Nullstellen stimmt immer, wenn man mehrfache Nullstellen auch mehrfach zählt (in deinem Fall also 2 mal) und reelle Zahlen auch als spezielle komplexe Zahlen sieht.

P.S. Ich mag auch Mandalorianer... ─ vt5 11.08.2019 um 13:42

Diesbezüglich habe ich den Satz wohl etwas missinterpretiert. Man könnte ihn also genauer umformulieren: Jede ganzrationale Gleichung n-ten Grades hat genau n Nullstellen im komplexen Bereich und höchstens n Nullstellen im reellen Teil; reelle Nullstellen sind auch komplexe Nullstellen im reellen Bereich und die Anzahl imaginärer Nullstellen ist n minus die Anzahl reeller Nullstellen; man beachte, dass mehrfache Nullstellen mehrfach gezählt werden.

D.h. auch bei dem Beispiel x^2-4 gibt es 2 komplexe Nullstellen, die aber beide auch reell sind. ─ simonm 14.08.2019 um 09:12

So kann man es sagen, ja. ─ vt5 14.08.2019 um 09:59

Super, ich danke dir! :) Zur eigentlichen Frage poste ich gleich ein Beispiel, inkl. meiner Rechnung und Schlussfolgerung. ─ simonm 14.08.2019 um 10:07

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simonm · Answer 2 · 2019-08-14T10:09:39Z

Ich habe mir mal ein konkretes Beispiel angeschaut: \(g(x) = \frac{5x^2-36x-144}{x^3+x^2-4x-4} = \frac{5x^2-36x-144}{(x+1)(x^2-4)}\)

Nun habe ich einmal für die Partialbruchzerlegung den Ansatz für reelle Nullstellen und einmal den Anzatz für komplexe Nullstellen getestet:

1. Ansatz: (für reelle Nullstellen)

\(g(x) = \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+2} = \frac{103}{3(x+1)}-\frac{49}{3(x-2)}-\frac{13}{x+2}\)

1. Ansatz Integriert: (hier ganz einfach ohne Tabelle möglich)

\(\int g(x) dx = \frac{103}{3}\int\frac{dx}{x+1}-\frac{49}{3}\int\frac{dx}{x-2}-13\int\frac{dx}{x+2} = \frac{103}{3}ln(x+1)-\frac{49}{3}ln(x-2)-13ln(x+2)+C\)

2. Ansatz: (für komplexe Nullstellen)

\(g(x) = \frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-4} = \frac{103}{3}\frac{1}{x+1}-\frac{44}{3}\frac{2x}{x^2-4}-\frac{20}{3}\frac{1}{x^2-4}\)

2. Ansatz Integriert: (die ersten beiden Brüche lassen sich gut integrieren; bei dem dritten musste ich auf die Integrations-Tabelle zurückgreifen - Ansatz für komplexe Nullstellen: \(\int\frac{dx}{x^2-a^2}\))

\(\int g(x)dx = \frac{103}{3}\int\frac{dx}{x+1}-\frac{44}{3}\int\frac{2x}{x^2-4}dx-\frac{20}{3}\int\frac{dx}{x^2-4} = \frac{103}{3}ln(x+1)-\frac{44}{3}ln(x^2-4)-\frac{5}{3}(ln(x-2)-ln(x+2))+C\)

Um sicher zu gehen, dass beide Ergebnisse tatsächlich gleich sind, habe ich sie gleichgestellt und komme letztendlich auf folgendes:

\(ln(x^2-4)=ln(x-2)+ln(x+2)\)

Meine Schlussfolgerung:

Wenn ich komplexe Nullstellen habe, muss ich den Ansatz für komplexe Nullstellen wählen; wenn ich reelle Nullstellen habe, kann ich beide Ansätze nehmen, wobei es der für komplexe Nullstellen ggf. unnötig kompliziert macht.

Gibt es Denk- oder Rechenfehler? Darf ich diese Schlussfolgerung grundsätzlich erstmal annehmen, ohne es gleich als allgemeingültig deklarieren zu wollen?