Integrale - Realteil, Imaginärteil, komplex konjugiert

Aufrufe: 1072     Aktiv: 16.02.2022 um 18:52

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Eigentlich sieht die Aufgabe nicht so schwer aus, aber so richtig eine Idee habe ich noch nicht.
Kann mir jemand helfen?


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Hallo,

man kann eine komplexe Zahl und ihr komplex konjugiertes so zusammenrechnen, dass wir nur den Realteil bzw nur den Imaginärteil herausbekommen. Weißt du wie? 
Dann musst du nur noch Bezug auf die Linearität des Integrals nehmen.

Für die (c) nutze (a) und (b). Bedenke, was sich bei einer komplexen Zahl ändert, wenn man sie komplex konjugiert.

Grüße Christian
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Wegen deiner ersten Frage: ich denke du meinst \( z+ \bar{z} = 2 \cdot Re(z) \) und \( z- \bar{z} = 2i \cdot Im(z) \)..
Und wegen deiner zweiten Frage: Da vertauscht sich ja das Vorzeichen des Imaginärteils. Also \( z= x+iy \) und das Konjugierte \( \bar{z} = x-iy \).

Aber irgendiwe bringt mich das beides noch nicht weiter.
  ─   sreal 15.02.2022 um 14:47

Ja damit hast du doch bereits alles
$$ \int \Re(f) \ \mathrm dz = \int \frac {f + \overline f} 2 \ \mathrm dz = \ldots$$
  ─   christian_strack 16.02.2022 um 09:26

Super, danke!
(a) \( \int Re(f) = \int \frac{f+ \bar{f} }{2} = \frac{1}{2} (\int f + \bar{f})= \frac{1}{2}(\int f + \int \bar {f})= \frac{\int f+\int{\bar{f}}}{2} =Re(\int f) \)
(b) analog zu a
(c) \( f=x+iy \) --> \( \int f = \int x + i\cdot \int y \) und
\( \bar{ \int {f} } = \int x - i\int y = \int x-iy=\int\bar f \)
  ─   sreal 16.02.2022 um 15:08

Wenn du \( \int \overline f =\overline{ \int f} \) noch nicht gezeigt hast, wie kannst du dann bei der (a) die Gleichheit \( \frac{\int f + \int \overline f}{2} = Re( \int f) \) folgern? Weil es gilt ja erstmal nur \( Re(\int f) = \frac{\int f + \overline{\int f}}{2} \).   ─   42 16.02.2022 um 16:35

Hm stimmt. Reicht es dann aus, dass ich einfach andersherum anfange, also mit (c). Und aufgrund dessen dann (a) und (b) löse, denn sonst fällt mir gerade keine andere Lösung ein.   ─   sreal 16.02.2022 um 18:52

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