Frage zu LU Zerlegung

Aufrufe: 46     Aktiv: vor 5 Tagen, 23 Stunden

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Hallo zusammen, ich habe folgende Frage:

Gegeben sei z.B. eine 4x4 Matrix A, die an der Stelle a1,1 (also der oberste linke Wert) ungleich 1 ist.
Bei den bisherigen Übungsaufgaben steht da leider immer eine 1, aber ich kann mir vorstellen, dass es genau in der Klausur dann eben keine 1 mehr ist.
Darf ich nun einfach die erste Zeile durch a1,1 dividieren, um eine 1 an dieser Stelle zu erhalten?

Vielen Dank!
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1 Antwort
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Normalerweise geht man so vor, dass man die Matrix mit dem Gauss-Alg auf die U-Form bringt, dabei aber nur Operationen der Form:
"ersetze j-te Zeile durch j-te Zeile minus lambda*i-te Zeile mit i<j"
erlaubt und die lambdas gehen in die L-Matrix.
D.h. das Multiplizieren einer Zeile mit einer Konstanten (und Platzieren an die Stelle dieser Zeile) ist nicht erlaubt.

Wenn man das unbedingt machen will, müsste man die erhaltene LU-Zerlegung am Ende nachbehandeln, genauer die U-Matrix. .

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Lehrer/Professor, Punkte: 10.82K
 

Genauso gehe ich ja auch vor, und fange immer mit i=1 und j=2 an. Ich benötige ja für die U-Matrix an erster Stelle zwingend eine "1", wie kann man denn vorgehen, wenn in der Ausgangsmatrix an dieser Stelle keine 1 vorgegeben ist? Oder kann ich davon ausgehen, dass die Aufgaben immer passend gestellt werden...?   ─   svepo 20.02.2021 um 18:20

Dann ist das Vorgehen prima. Wo ist denn das Problem, wenn a_11 nicht 1 ist? Das braucht man überhaupt nicht. Es darf halt nur nicht 0 sein. Alles andere geht.
Z.B. \(\begin{pmatrix} 4& -1 &-5\cr -12& 4& 17\cr 32& -10& -41 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\cr -3 & 1& 0\cr 8 & -2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4& -1 &-5\cr 0& 1& 2\cr 0& 0& 3 \ \end{pmatrix}\)
  ─   mikn 20.02.2021 um 19:06

Vielen Dank, das war der Schlüssel - ich dachte bisher, dass die Diagonale der U-Matrix ebenfalls zwingend aus 1-ern bestehen muss - einfach weil das bisher in all den Übungen eben so war. Vielen Dank, damit hat sich der Knoten gelöst!   ─   svepo vor 6 Tagen

Ok, aber Vorsicht: Ich kenne die Def. von L und U nur so. Theoretisch ist aber denkbar, dass man fordert, in der U-Matrix Einsen in der Diagonalen, dafür aber in der L-Matrix nicht unbedingt. Wäre ungewöhnlich, aber ausgeschlossen ist nichts.
Schau also nochmal genau nach wie Ihr es in der Lehrveranstaltung definiert habt.
Wenn Eure Beispiele immer nur Einsen in der Diagonalen der U-Matrix haben, sind die Beispiele wirklich schlecht gewählt.
  ─   mikn vor 5 Tagen, 23 Stunden

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