Archimedische Spirale kleinster Abstand zu Punkt

Erste Frage Aufrufe: 91     Aktiv: 04.07.2021 um 09:13

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Hallo,

ich möchte gerne die Stelle an einer archimedischen Spirale herausfinden, die einem beliebigen Punkt P(x,y) am nächsten ist.
Also wo die Distanz zwischen Punkt und Spirale das Minimum erreicht.

Die Punkte der archimedischen Spirale berechne ich mit:

Xs(t) = c + (a+b*t) * cos(t) * h
Ys(t) = c + (a+b*t) * sin(t) * i
Ps(t) = { Xs(t); Ys(t) }

wobei t der Winkel in Rad ist.
a,b,c,h,i sind konstant, wobei h,i nur die Werte -1 oder 1 annehmen können, da Diese zur Spiegelung an den Achsen dienen.

Mein Ansatz ist, den Winkel t zu finden und in die Spiralgleichungen einsetzen um die Position zu bekommen.



Ab hier komme ich nicht mehr weiter, da t sowohl in cos(t), sin(t) vorkommt als auch in (a+b*t).
Entweder ist der Ansatz falsch oder ich mache einen Fehler.
Ich versuche schon seit einer Woche das Problem zu lösen und mittlerweile bemerke ich, wie es mich in den Wahnsinn treibt.

Nach einer längeren Suche habe ich folgendes gefunden:




Eventuell ist das die Lösung die ich suche, aber ich weiß nicht wie ich meine Spiralgleichungen in diese Polar-Spiralfunktion umwandeln kann.
Außerdem kommt in der finalen Gleichung ein "ver" vor, was ich so noch nicht gesehen habe. Steht das in diesem Fall für "acos" ?
Obwohl selbst wenn ich das wüsste, wäre ich nicht in der Lage alles so anzuwenden, dass ich auf den Winkel komme den ich suche.
Ich benötige Hilfe.

Die Bilder in einem neuen Tab öffnen oder speichern um die beste Auflösung zu bekommen.
In der Vorschau sieht es etwas verwaschen aus.

Hoffentlich ist das verständlich genug und Ihr könnt mir weiter helfen.

Viele Grüße!

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Hallo,

ich bin mir hier auch nicht sicher, aber ich möchte dir mal meine Gedanken mitteilen, vielleicht hilft es dir weiter :)
Es wird ja der Kosinussatz genutzt. Wir haben also ein Dreieck gegeben. $R_\theta$ steht denke ich für den Radius der Spirale um zu charakterisieren, wo wir auf der Spirale gerade sind. Bei einer Spirale ist der Radius vom Winkel abhängig. Für die archimedische Spirale gilt
$$ R_\theta = a \cdot \theta , \quad a \in \mathbb R^+ $$
Ich habe mir dann mal eine kleine Skizze gemacht und ich denke das $|T|$ den Abstand vom Punkt zum Ursprung der Spirale (bei sinnvoller Wahl des Koordinatensystems also auch zum Ursprung des Koordinatensystems) beschreibt.
Dann bilden nämlich Radius, Abstand zum Ursprung und Abstand vom Punkt zur Spirale ein allgemeines Dreieck.
Ich denke also nicht, dass du hier groß transformieren musst.

Den Ausdruck "ver" kenne ich auch nicht, aber es passiert dort folgende Umformung
$$ 2|T|^2 -2|T|^2 \cos(\ldots) = 2|T|^2(1- \cos(\ldots)) = 2|T|^2 \mathrm{ver}(\ldots) $$
Deshalb würde ich schätzen ist
$$ 1 - \cos(\ldots) = \mathrm{ver}(\ldots) $$

Was meinst du dazu?
Grüße Christian
  ─   christian_strack 01.07.2021 um 15:26

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"ver" kannte ich auch noch nicht. Aus dem Zusammenhang ist klar, dass \(ver(x)=1-\cos x\) ist. Das bestätigt sich auch hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Versine   ─   mikn 01.07.2021 um 16:06

Ah perfekt. Man lernt doch nie aus :p   ─   christian_strack 01.07.2021 um 16:50

Ich habe zwei Bilder hinzugefügt.
Meine Rechnung scheint falsch zu sein, da als Ergebnis der gesuchte Winkel für den Punkt auf der Spirale dem Winkel des zufälligen Punktes entspricht.
Aber auf dem ersten Bild ist ganz klar zu erkennen, dass es unterschiedliche Winkel sein können.
Es war aber nicht vollkommen umsonst.
Mir ist aufgefallen, dass das Ganze nur funktioniert, wenn der errechnete Winkel <= Maximalwinkel der Spirale ist.
Sollte er größer sein, muss man einen anderen Weg wählen.

Außerdem, kann mir bitte jemand plausibel erklären, warum man ständig das Rad neu erfinden muss?
Ich kann doch nicht der 2. Mensch (von dem wir wissen) sein, der dieses Problem hatte.
Wieso steht nirgendswo wie das funktioniert?
  ─   gerrik 02.07.2021 um 09:02

Moment, wenn ich mir das erste Bild nochmal angucke -> kann man den Punkt nicht auf diese Weise berechnen?
Kreis -> Schnittpunkt mit Spirale -> Ergebnis
  ─   gerrik 02.07.2021 um 09:19

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Ich bin mir doch sehr unsicher, wofür $R^{-}$ stehen soll. Aber im Grunde wurde in dem Post doch schon die Formel für den minimalen Abstand berechnet
$$ D_{R,T} = |T|\sqrt{2\mathrm{ver} ((\theta_T-R^-(|T|)} $$
Wenn du jetzt den Punkt in Polarkoordinaten bringst, hast du sofort $|T|$ und $\theta_T$. Wie gesagt, was $R^-$ sein soll bin ich mir unsicher. Aber ich denke diese Formel passt allgemein.
Du nimmst diese Formel und leitest sie nochmal ab. Das führt nicht zum minimalen Abstand, sondern zu dem Punkt der allgemein den kleinsten Abstand hat. Das sind natürlich Punkte auf der Spirale. Deshalb denke ich erhälst du auch den selben Winkel als Ergebnis.

Ja umso abstrakter etwas wird, desto weniger setzen sich damit auseinander. Auch wenn das Internet doch schon ne Weile da ist, wurde es doch erst vor ein paar Jahren vernünftig genutzt um Wissen nicht nur zu sammeln sondern auch zu kategoriersieren. Ich könnte mir vorstellen, dass es Bücher über dein Problem oder zumindest ein ähnliches Problem gibt. Da musst du mal in der Bibliothek nach Büchern über die Geometrie von Spiralen suchen. Vielleicht hast du da mehr Glück. Google kann uns leider noch nicht jedes Problem lösen :)
  ─   christian_strack 02.07.2021 um 14:14

Meine Vermutung ist, dass \( R^{-} \) die Umkehrfunktion ist.
In Zeile 16 steht: \( R(\theta_T - 2\pi n) = |T| \to \theta = R^{-}(|T|) \)
Mit Zeile 9: \( \theta = \theta_T - 2\pi n \)
Aber ich bin kein Mathematiker, ich stelle nur noch Vermutungen an.
Was da im Detail passiert, habe ich absolut keine Ahnung von.

Wenn ich deinen Kommentar richtig verstehe, hätte ich mir die Ableitung sparen sollen.
Einfach 0 setzen und nach \( \theta \) umstellen ?

  ─   gerrik 02.07.2021 um 19:03
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Tut mir Leid das ich erst jetzt antworte. Ja das mit der Umkehrfunktion macht sehr viel Sinn. Bei der archimedischen Spirale wäre dass dann $$ R^-(|T|) = \frac {|T|} a $$ Ja genau. Die Formel mit $D_{R,T}$ wurde bereits durch ableiten und nullsetzen hergeleitet. Es ist also schon quasi die Endformel für den Abstand. Falls dich nur der Abstand interessiert, wärst du denke ich damit fertig.
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