Analytische Geometrie- Ebenen im Raum

Aufrufe: 68     Aktiv: 31.12.2020 um 14:34

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Wie kann ich unterscheiden ob es sich um eine gemeinsame schnittgerade der 3 Ebenen handelt oder einen schnittpunkt der 3? Ich verstehe den Rechenweg der beiden aber verstehe nicht wie man quasi die beiden “im Rechenweg” unterscheiden kann. (Falls es in der frage nicht eindeutig ist.) Wäre sehr dankbar wenn jmd mir weiterhelfen könnte!
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Student, Punkte: 44

 

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2 Antworten
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Wenn zwei Ebenen sich schneiden erhält man immer eine  Schnittgerade. Wenn eine Ebene und eine Gerade sich schneiden erhält man lediglich einen Schnittpunkt. 
In beiden Fällen kann man diese ermitteln indem man die Gleichungen für der Ebene mit der Gleichung der anderen Ebene oder der Gerade gleichsetzt und die entsprechende Parameter berechnen.

 

Hoffe das beantwortet deine Frage.

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Aber wenn ich 3 Ebenen hab- Vergleiche ich die normal Vektoren (sehe sie sind paarweise nicht parallel) dann stelle ich ein Lgs auf aber wie kann ich dort erkennen ob es sich um eine Schnittgerade oder Schnittpunkt handelt   ─   hrainer 31.12.2020 um 13:59

Also mit 3 ebenen? oder sollte ich einfach die Lagebeziehung paarweise untersuchen und schauen was rauskommt?   ─   hrainer 31.12.2020 um 14:00

Ah ok jetzt versteh ich die Frage besser, du sollst also die gegenseitige Lage von 3 "verschiedenen" Ebenen untersuchen. Also wenn sich zwei Ebenen schneiden erhält man immer eine Schnittgerade. Zu der Lage von Ebenen: Diese können sich auch noch nie schneiden (dann verlaufen sie parallel), in dem Fall würde man keine Lösung für dein LGS. Der dritte Fall ist, das sie identisch sind. In dem Fall erhält man unendlich viele Lösungen für dein Gleichungssystem ... meistens sind die Ebenengleichungen von identischen Ebenen gleich oder nur durch einen Faktor verändert, ergeben aber sonst die gleiche Ebene.
Also:
(1) Ebenen schneiden sich \(\longrightarrow\) Schnittgerade als Lösung des GS
(2) Ebenen parallel \(\longrightarrow\) keine Lösung des GS
(3) Ebenen identisch \(\longrightarrow\) unendlich viele Lösungen des GS
Beantwortet das jetzt deine Frage :)
  ─   maqu 31.12.2020 um 14:31

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wenn du das LGS der Koordinatengleichungen eingibst, hast du 3 Gleichungen und 3 Unbekannte. Eine eindeutige Lösung ergäbe dann einen Schnittpunkt. Hättest du (nach dem Gauß) eine Nullzeile, 1 Schnittgerade aller drei; zwei Nullzeilen sind zwei Schnittgeraden  und gar keine Lösung: Ebenen parallel

man kann das natürlich auch vorneweg anhand der Richtungs- bzw. Normalenvektoren überprüfen, aber du fragtest ja nach Rechnung.

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selbstständig, Punkte: 3.56K
 

Danke euch Beiden!! Stimmt es auch wenn ich beim LGS zwei identische/ Äquivalente Gleichungen habe (mittels Additionsverfahren) dann liegt eine schnittgerade vor?   ─   hrainer 31.12.2020 um 14:20

**nachdem ich eine variable eliminiert habe   ─   hrainer 31.12.2020 um 14:20

habe ich jetzt nicht ganz verstanden, gehst du nur von 2 oder noch immer von 3 (Ebenen)Gleichungen aus? und verwendest du den Gauß-Algorithmus zum Lösen oder irgendwie anders?
  ─   monimust 31.12.2020 um 14:24

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