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Hallo,
ohne das Ergebnis deines Kollegen zu kennen und ohne das Wissen was für dich schöner ist, ist diese Frage nicht zu beantworten. Deine Lösung ist aber auf jeden Fall richtig.
Grüße Christian
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Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Ach ja ok ich stand jetzt selbst gerade ziemlich auf den Schlauch und habe mir irgendwie nur die Rechnung an sich angeguckt. Das tut mir sehr Leid.
Wir sind hier in einem Funktionenraum und nicht mehr im \( \mathbb{R}^n \). Wir müssen uns hier für deinen Ansatz erstmal klar machen, was so eine Standardbasis überhaupt sein soll.
Deine Transformationsmatrizen direkt am Anfang machen so keinen Sinn.
Man könnte sich wie beispielsweise beim Raum der Polynome eine Standardbasis überlegen und konstruieren, indem man die Monome wählt. Dann ist
$$ 1 = \begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \quad x = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \quad \ldots, \quad x^n = \begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
dann können wir wieder wie in einem Koordinatenraum rechnen und zwischen verschiedenen Polynombasen wechseln.
Aber was soll eine Standardbasis in deiner Aufgabe sein? Hier könnten wir beispielsweise die Basis \( \mathcal{B} \) als Standardbasis festlegen und über \( e^x \) und \( e^{-x} \) argumentieren. Dann wäre
$$ e^x = \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} , \quad e^{-x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
und wir können wieder wie in einem Koordinatenraum rechnen durch die Zusammenhänge
$$ \sinh(x) = \frac 1 2 (e^x - e^{-x} ) = \frac 1 2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} , \quad \cosh(x) = \frac 1 2 (e^x + e^{-x} ) = \frac 1 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Man könnte sich aber auch eine Standardbasis basteln, indem wir festlegen dass
$$ \sinh(x) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \quad \cosh(x) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
und dann können wir wie in einem Koordinatenraum rechnen durch die Zusammenhänge
$$ e^x = \sinh(x) + \cosh(x) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \quad e^{-x} = \cosh(x) - \sinh(x) = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$
du siehst also, hier können wir 2 Ansätze nutzen, und durch beide Ansätze können wir wie in einem Koordinatenraum rechnen. Deshalb muss zuerst sowas wie eine Standardbasis vernünftig definiert werden.
Wenn wir einen Funktionenraum als Vektorraum betrachten, wird es selten vorkommen, dass du Funktionen als Koeffizienten haben wirst. Denn die Funktionen werden dann erst durch die Linearkombination der Basis beschrieben.
Der einfachste Weg deine Aufgabe zu lösen wäre auch ohne überhaupt eine Transformationsmatrix aufzustellen
$$ 3 \sinh(x) + 2 \cosh(x) = 3 \cdot \frac 1 2 (e^x - e^{-x} ) + 2 \cdot \frac 1 2 (e^x + e^{-x} ) = \frac 5 2 e^x - \frac 1 2 e^{-x} $$
Somit erhalten wir sofort unsere Koeffizienten
Entschuldige nochmal die anfängliche Verwirrung. Ich hoffe jetzt ist es klar geworden.
Grüße Christian ─ christian_strack 19.04.2021 um 16:43
Wir sind hier in einem Funktionenraum und nicht mehr im \( \mathbb{R}^n \). Wir müssen uns hier für deinen Ansatz erstmal klar machen, was so eine Standardbasis überhaupt sein soll.
Deine Transformationsmatrizen direkt am Anfang machen so keinen Sinn.
Man könnte sich wie beispielsweise beim Raum der Polynome eine Standardbasis überlegen und konstruieren, indem man die Monome wählt. Dann ist
$$ 1 = \begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \quad x = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \quad \ldots, \quad x^n = \begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
dann können wir wieder wie in einem Koordinatenraum rechnen und zwischen verschiedenen Polynombasen wechseln.
Aber was soll eine Standardbasis in deiner Aufgabe sein? Hier könnten wir beispielsweise die Basis \( \mathcal{B} \) als Standardbasis festlegen und über \( e^x \) und \( e^{-x} \) argumentieren. Dann wäre
$$ e^x = \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} , \quad e^{-x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
und wir können wieder wie in einem Koordinatenraum rechnen durch die Zusammenhänge
$$ \sinh(x) = \frac 1 2 (e^x - e^{-x} ) = \frac 1 2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} , \quad \cosh(x) = \frac 1 2 (e^x + e^{-x} ) = \frac 1 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Man könnte sich aber auch eine Standardbasis basteln, indem wir festlegen dass
$$ \sinh(x) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \quad \cosh(x) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
und dann können wir wie in einem Koordinatenraum rechnen durch die Zusammenhänge
$$ e^x = \sinh(x) + \cosh(x) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \quad e^{-x} = \cosh(x) - \sinh(x) = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$
du siehst also, hier können wir 2 Ansätze nutzen, und durch beide Ansätze können wir wie in einem Koordinatenraum rechnen. Deshalb muss zuerst sowas wie eine Standardbasis vernünftig definiert werden.
Wenn wir einen Funktionenraum als Vektorraum betrachten, wird es selten vorkommen, dass du Funktionen als Koeffizienten haben wirst. Denn die Funktionen werden dann erst durch die Linearkombination der Basis beschrieben.
Der einfachste Weg deine Aufgabe zu lösen wäre auch ohne überhaupt eine Transformationsmatrix aufzustellen
$$ 3 \sinh(x) + 2 \cosh(x) = 3 \cdot \frac 1 2 (e^x - e^{-x} ) + 2 \cdot \frac 1 2 (e^x + e^{-x} ) = \frac 5 2 e^x - \frac 1 2 e^{-x} $$
Somit erhalten wir sofort unsere Koeffizienten
Entschuldige nochmal die anfängliche Verwirrung. Ich hoffe jetzt ist es klar geworden.
Grüße Christian ─ christian_strack 19.04.2021 um 16:43
Gelöst wurde das ganze über folgende Aussage:
sinh(x) = (e^x-e^-x)/2 * (1 , 0) -> (1/2 , -1/2)
sowie für
cosh(x) = (e^x+e^-x)/2 * (0 , 1) -> ( 1/2 , 1/2)
Daraus ergab sich die Transformationsmatrix 1/2 * ((1 , 1), (-1, 1))
Transformationsmatrix * (3 , 2) = 1/2 (5 , -1)
Was meiner Meinung nach ein komplett anderes Ergebnis ist.
─ anonym2ea41 19.04.2021 um 16:06