Für lineare DGL's 1. Ordnung kann man die Vorgehensweise, die von Christian Strack empfohlen wird, auch in einer geschlossenen Lösungsformel zusammenfassen. Siehe dazu mein Videotipp.

Um die Frage kurz und klar zu beantworten:
Nein, es gibt keine Dgl, die linear und homogen ist und zugleich nicht separabel. Homogene Dgl sind stets separabel. Siehe Christians Antwort.

Hallo,

eine lineare DGL 1. Ordnung hat die allgemeine Form

$$ y'(x) = a(x) y(x) + b(x) $$ 

Eine separierbare DGL hat die allgemeine Form

$$y'(x) = f(y(x)) \cdot g(x) $$

Da wir bei linearen DGL die Variation der Konstanten durchführen können, können wir zuerst die homogene Lösung berechnen.

$$ y'_h(x) = a(x) y_h(x) $$

und wir haben hier automatisch eine separierbare DGL mit $f(x) = x$ und $g(x) = a(x)$. 

Also wir können alle lineare DGL's 1. Ordnung mit der Trennung der Variablen lösen. Allerdings müssen wir gegebenenfalls noch die Variation der Konstanten mit zur Hilfe nehmen um die partikuläre Lösung zu bestimmen.

Grüße Christian