Homogene Differenzialgleichungen die nicht separabel sind

Erste Frage Aufrufe: 81     Aktiv: 18.08.2021 um 17:20

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Hey, ich schreibe zurzeit eine Projektarbeit in Mathematik 2 und hätte mal eine Frage zu gewöhnlichen Differenzialgleichungen. Lineare, homogene DGL 1. Ordnung lassen sich ja mit Hilfe der Trennung der Variablen Lösen solange diese separabel sind, gibt es auch lineare, homogene DGL 1. Ordnung die nicht separabel sind und wenn ja, wie löst man diese? Mit dem Substitutionsverfahren? Würde mich über eine Antwort sehr freuen.
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Für lineare DGL's 1. Ordnung kann man die Vorgehensweise, die von Christian Strack empfohlen wird, auch in einer geschlossenen Lösungsformel zusammenfassen. Siehe dazu mein Videotipp.
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Um die Frage kurz und klar zu beantworten:
Nein, es gibt keine Dgl, die linear und homogen ist und zugleich nicht separabel. Homogene Dgl sind stets separabel. Siehe Christians Antwort.
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Hallo,

eine lineare DGL 1. Ordnung hat die allgemeine Form

$$ y'(x) = a(x) y(x) + b(x) $$ 

Eine separierbare DGL hat die allgemeine Form

$$y'(x) = f(y(x)) \cdot g(x) $$

Da wir bei linearen DGL die Variation der Konstanten durchführen können, können wir zuerst die homogene Lösung berechnen.

$$ y'_h(x) = a(x) y_h(x) $$

und wir haben hier automatisch eine separierbare DGL mit $f(x) = x$ und $g(x) = a(x)$. 

Also wir können alle lineare DGL's 1. Ordnung mit der Trennung der Variablen lösen. Allerdings müssen wir gegebenenfalls noch die Variation der Konstanten mit zur Hilfe nehmen um die partikuläre Lösung zu bestimmen.

Grüße Christian
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Nicht "homogene Lösung", sondern "Lösung des homogenen Systems" bitte. Es gibt ja auch homogene Funktionen, das hat aber nichts mit der Frage hier zu tun. Und die Lösung muss ja nicht homogen sein.   ─   mikn 18.08.2021 um 14:15

Oh danke für den Hinweis. Ist mir glaube ich sehr oft so rausgerutscht. Versuche ich mir so anzugewöhnen! Macht auch sehr viel Sinn.   ─   christian_strack 18.08.2021 um 17:20

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