Was bedeutet dass der Kern des Matrix gleich null ist?

Aufrufe: 221     Aktiv: 16.03.2023 um 23:44
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Hallo !

ich habe eine Frage bezüglich den Kern von einem Matrix.
Wenn gilt, dass Kern(A) = {0}, was kann man dann über die Lösung des Gleichungssystems Ax = b sagen?
Die Frage wurde in der Stunde gestellt aber ich versteh sie nicht ganz.

Meine Gedanken:

Wenn der Kern = 0 dann ist doch der Nullvektor der einzige Vektor ist, der durch Multiplikation mit A auf den Nullvektor abgebildet wird. Das ist dann die einzige Lösung für homogene lineare Gleichungssysteme. Was bedeutet das aber für inhomogene lineare Gleichungssysteme ?
In Skript steht dass "Die allgemeine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems erhält man, in-
dem man (irgendeine) spezielle Lösung x0 des inhomogenen Gleichungssys-
tems zur allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems
addiert"
Ich denke dass ich den Satz nicht ganz versteht bzw was man mit spezielle Lösunge gemeint ist. Gibt es vielleicht ein Beispiel?

Danke im Voraus!
LG

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Man benötigt hier zwei Fakten, die in der Vorlesung bewiesen sein sollten:
1. $\text{Ker}{A}=0 \Leftrightarrow$ die durch A definierte lineare Abbildung ist injektiv.
2. Das Gleichungssystem $Ax=b$ ist genau dann lösbar, wenn b im Spaltenraum von A liegt.
Kannst du damit was anstellen?   ─   fix 16.03.2023 um 21:01
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Zu dem Satz im Skript:
Man erhält eine Lösung des inhom. LGS, indem man irgendeine(!) (die kann theoretisch durch Raten gefunden sein) zur allg. Lösung des hom. LGS addiert.
Wenn man irgendeine(!) beliebige Lösung des inhom. LGS hat, nennen wir die mal $x_i$, dann ist die komplette(!) Lösungsmenge des inhom. LGS $L_{inhom}=\{ x_i+x_h | x_h\, {\rm ist\, Lösung\, des\, hom.\, LGS}\}$. Wenn also das hom. LGS nur den Nullvektor als Lösung hat, wieviele Lösungen hat dann das inhom. LGS, d.h. wieviele Elemente hat dann die Menge $L_{inhom}$?
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