Basis des R^zwei

Erste Frage Aufrufe: 55     Aktiv: 05.05.2021 um 16:29

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Hallo und zwar folgendes Problem, ich kann diese Lösung nicht ganz nachvollziehen:

Gegeben ist die Matrix mit A = ( 1 2 
                                                       2 3
                                                       3 4)
und wir sollen angeben, ob die Menge zweier Zeilen- oder Spaltenvektoren eine Basis des R hoch zwei bilden können.

Antwort:
Die Spaltenvekoren können dies nicht (es gibt keine Begründung, aber ich gehe davon aus weil der eine Spaltenvektor als das Vielfache des anderen dargestellt werden kann)

Aber die Menge zweier Zeilenvektoren der Matrix A bilden eine Basis. 
Hat jemand hier eine Begründung, weil ich nicht nachvollziehen kann wieso die voneinander linear unabhängig sein sollen?
gefragt

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2 Antworten
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"ich gehe davon aus": Das tut man in der Mathematik nicht. Man kann das genau prüfen. Prüfe durch Rechnen, ob die eine Spalte ein Vielfaches der anderen ist. Prüfe auch, in welchem Raum die Spalten liegen.
"die voneinander linear unabhängig sein sollen": Auch das kann man einfach nachrechnen. Alle drei sind natürlich nicht unabhängig (warum nicht?), aber davon ist in der Aufgabe ja auch nicht die Rede.
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Ich dachte Vektoren können nur eine Basis sein wenn sie linear unabhängig sind und ich hab das jetzt in ner Matrix ausgerechnet, das sind sie, nur bekomme ich bei den Spaltenvektoren nun auch dass das Skalar r=0 ist   ─   elio 05.05.2021 um 09:56

Stimmt ja auch. Wie lautet Deine Antwort auf meine Frage, in welchem Raum die Spaltenvektoren liegen? Und was bedeutet das für die Aufgabe hier?   ─   mikn 05.05.2021 um 11:48

Ich steh aufm Schlauch: Wenn ich die Spaltenvektoren in eine Matrix eingebe, diese umforme sodass ich nur linear unabhängige Einheitsvektoren rausbekomme, dann klappt das, würde das nicht bedeuten dass ich dann zwei lin. unab. Spaltenvektoren habe, die im R^2 liegen? Ich kann die Lösung von den zwei lin. unabh. Zeilenvektoren mittlerweile verstehen, aber nun erschließt sich mir nicht was mit den Spaltenvektoren nicht stimmt, ich glaube ich habe irgendeinen Zusammenhang falsch verstanden   ─   elio 05.05.2021 um 14:02

Dritte Aufforderung: beantworte obige Frage. Schreib die Spalten dafür getrennt von der Matrix hin.   ─   mikn 05.05.2021 um 14:19

Ich hoffe ich hab jetzt keinen totalen Fehlgriff: Im R^3, da x1, x2, x3 gegeben sind und wir bei den Zeilenvektoren nur x1, x2 haben? Und das wäre auch der Grund wieso es nicht im R^2 liegen kann...   ─   elio 05.05.2021 um 15:10

Genau so ist es.   ─   mikn 05.05.2021 um 16:05

Danke!!!   ─   elio 05.05.2021 um 16:29

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Die 3 Zeilenvektoren sind paarweise l.u. , also bildet jedes Paar eine Basis des \(R^2\)
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Wieso sind es die Spaltenvektoren nicht, wenn ich sie in einer Matrix ausrechne, wo beide r1 = r2 = 0   ─   elio 05.05.2021 um 10:09

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