Def. gleichmäßige Konvergenz:
Die formale Def. hast Du sicher in Deinen Unterlagen. Was (normale) Konvergenz bedeutet, weißt Du sicherlich auch: "zu jedem $\varepsilon >0$ gibt es $n_0$, so dass für alle $n\ge n_0$ gilt..." .
Bei Funktionenfolgen hat man nicht nur ein $n$, sondern auch ein $x$. "Gleichmäßige Konvergenz" bedeutet dann, dass das $n_0$ unabhängig von $x$ gewählt werden kann. Ob das geht, merkt man bei den Abschätzungen. In der formalen Def. kommt daher noch ein "für alle $x$" dazu, also:
"zu jedem $\varepsilon >0$ gibt es $n_0$, so dass für alle $n\ge n_0$ und für alle $x$ gilt..."
Schau Dir das Beispiel aus der Lehrveranstaltung genau an und versuche es zu variieren