X⁴ --- f''(x)=0 | Extrema bestimmen | Satz von Taylor

Erste Frage Aufrufe: 82     Aktiv: 25.09.2021 um 18:19

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Ich habe eine Frage...
 
f(x)=x⁴
f'(x)=4x³
f''(x)= 12x²
 
Hoch- und Tiefpunkte bestimmen:
Hinreichendes Kriterium: f'(x)= 0
Notwendiges Kriterium: f''(x) ≠ 0
 
Allerdings hat die Funktion f(x)= x⁴ einen Tiefpunkt bei 0, obwohl die 2. Ableitungen an der selber Stelle Null ergibt.
 
Ich muss darüber ein Referat halten(10min), als Tipp habe ich Satz von Taylor bekommen(haben noch nichts damit im Unterricht gemacht).

EDIT vom 24.09.2021 um 15:26:

Ich habe eine Frage...
 
f(x)=x⁴
f'(x)=4x³
f''(x)= 12x²
 
Hoch- und Tiefpunkte bestimmen:
Notwendiges Kriterium: f'(x)= 0
Hinreichendes Kriterium: f''(x) ≠ 0
 
Allerdings hat die Funktion f(x)= x⁴ einen Tiefpunkt bei 0, obwohl die 2. Ableitungen an der selber Stelle Null ergibt.
 
Ich muss darüber ein Referat halten(10min), als Tipp habe ich Satz von Taylor bekommen(haben noch nichts damit im Unterricht gemacht).
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Du hast die Begriffe notwendig und hinreichend vertauscht. Das hinreichende Kriterium mit der zweiten Ableitung kann schiefgehen. Nutze stattdessen das Vorzeichenwechselkriterium.
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Danke. Das mit dem vorzeichenwechsel weiß ich. Die will aber wissen warum und was das mit dem Satz von Taylor zutun hat..   ─   maik_04 23.09.2021 um 21:55

Ich glaube kaum, dass du (vermutlich in der Schule?), etwas über den Satz von Taylor wissen musst, vor allem dann, wenn dazu bisher gar nichts gemacht wurde. Für ein 10 Minuten Referat ist es alles andere als lohnenswert, sich diesen Satz überhaupt erstmal anzuschauen, mal davon abgesehen, dass ihn deine Klasse vermutlich sowieso nicht verstehen wird. Außerdem ist mir nicht ganz klar, was der Satz von Taylor mit der Problemstellung zu tun hat.

Wie lautet denn die konkrete Fragestellung für das Referat? Begründen, warum da ein Tiefpunkt ist kann man wunderbar mit dem VZW-Kriterium.
  ─   cauchy 24.09.2021 um 01:59

Zu mir:
ich bin in der Q1 (Mathe LK) und stehe in Mathe 1

Als ich meine Lehrerin gefragt habe warum das bei z.b. x^4 nicht genau so funktioniert wie bei den anderen, sondern nur mit dem VZ-Test hat sie mir gesagt, dass ich darüber nächsten Montag ein Referat halten solle. Als Beispiel soll ich x^4 und x^5 nehmen. Als Tipp hat sie mir gegeben dass ich nach dem Satz von Taylor gucken soll.
  ─   maik_04 24.09.2021 um 15:25

habe das gerade gefunden: https://cdn.discordapp.com/attachments/720303953614471228/890717660449497118/unknown.png
plus ein Kommentar dazu: "Mit dem Verweis auf die Taylorreihe kommt mir der Verdacht, dass es mehr sinn macht für f(x)=x^n nach der n-ten Ableitung ungleich null zu suchen, also f^(n) ≠ 0"

  ─   maik_04 24.09.2021 um 15:39

Ah, das war gemeint. Hätte ich drauf kommen können klar. Aber ja, da zeigt man letztendlich auch nur (allgemein), dass ein Vorzeichenwechsel in der $(n+1)$-ten Ableitung vorliegt oder eben nicht, was bedeutet, dass entweder ein Krümmungswechsel der Funktion vorliegt (Sattelpunkt) oder eben nicht (Extrempunkt).   ─   cauchy 24.09.2021 um 18:30

Kannst du mir das eventuell genauer erklären, ich hab nämlich absolut keine Ahnung was ich Montag dort sagen soll und hab nur noch heute und morgen Zeit dazu...   ─   maik_04 25.09.2021 um 17:59

Da das Referat relativ kurz ist, würde ich das Resultat aus dem Bild vorstellen und eine ungefähre Beweisskizze anfertigen. Dazu kann man sich folgendes überlegen:
1. Liegt ein Extrempunkt vor, so liegt kein Krümmungswechsel in diesem Punkt vor.
2. Das bedeutet aber, dass die zweite Ableitung das Vorzeichen nicht wechselt.
3. Wenn die zweite Ableitung das Vorzeichen nicht wechselt, ist sie entweder in dem Punkt positiv oder negativ oder Null.
4. Wenn die zweite Ableitung Null ist, muss sie dort ein Extrempunkt haben (sonst würde sie das Vorzeichen wechseln).
5. Da die zweite Ableitung ein Extrempunkt hat, liegt in der zweiten Ableitung kein Krümmungswechsel vor, das wiederum bedeutet, dass die vierte Ableitung entweder positiv, negativ oder Null ist (und damit einen Extrempunkt hat).
6. Das kann man nun beliebig fortführen, bis man die erste gerade Ableitung ungleich 0 erhält. Dann kann man nämlich wie gewohnt entscheiden, ob ein TP oder HP vorliegt.

Ähnlich kann man das für den Fall $n$ ungerade konstruieren. Wenn man dieses Vorgehen anschauen mit den Beispielen $x^4$ und $x^5$ erklären kann, sollte das meiner Meinung nach ausreichend sein. Alles andere würde vermutlich sowieso den Rahmen des Referats sprengen und vermutlich würde das auch niemand verstehen.
  ─   cauchy 25.09.2021 um 18:19

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In dem Referat solltest du auch an die ursprüngliche Defintion eines lokalen Minimums erinnern, nämlich dass es eine hinreichend kleine Umgebung muss, in der alle Funktionswerte größer sind. Im vorliegenden Fall gilt das sogar für jede Umgebung von 0, also \(f(0\pm \epsilon)=\epsilon^4>0\) für  \(\epsilon>0\)
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Könntest du mir das eventuell erklären?   ─   maik_04 24.09.2021 um 18:02

Ein lokales Minimum liegt vor, wenn in jeder noch so kleinen Umgebung um die Minimalstelle jeder Funktionswert größer ist. Für $f(x)=x^4$ ist $x_0=0$ das lokale (hier sogar das globale) Minimum. Wählt man nun ein kleines Intervall um diesen Punkt, also $[-\varepsilon; \varepsilon]$ mit $\varepsilon>0$, so hat jeder Punkt in diesem Intervall einen größeren Funktionswert als 0, denn $f(\varepsilon)=\varepsilon^4>0$. Das gleiche gilt für $f(-\varepsilon)=(-\varepsilon)^4=\varepsilon^4 >0$. Folglich ist bei $x_0=0$ ein lokales Minimum.   ─   cauchy 24.09.2021 um 18:14

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