Hier eine Lösung mithilfe der Jordanschen Normalform:

Wenn \( A \) nicht diagonalisierbar ist, dann ist es ihre Jordansche Normalform auch nicht. Und beide haben das gleiche charakteristische Polynom. Finden wir also die Jordansche Normalform von \( A \), dann finden wir das gewünschte Beispiel.

Aus dem charakteristischen Polynom \( \chi_A = -(t-2)^2(t+1) \) können wir die Eigenwerte \( \lambda_1=-1 \) und \( \lambda_2=2 \) mit algebraischen Vielfachheiten \( 1 \) und \( 2 \) ablesen.

Die geometrischen Vielfachheiten können nun maximal so groß sein wie die algebraischen Vielfachheiten, müssen aber mindestens \( 1 \) sein.

Damit erhalten wir für \( \lambda_1=-1 \) sofort die geometrische Vielfachheit \( 1 \) und damit genau einen Jordanblock.

Für \( \lambda_2=2 \) ist die geometrische Vielfachheit \( 1 \) oder \( 2 \). Wäre die Vielfachheit \( 2 \), so wären die geometrischen Vielfachheiten gleich den algebraischen Vielfachheiten und \( A \) somit diagonalisierbar. Da wir jedoch wollen, dass \( A \) nicht diagonalisierbar ist, muss \( \lambda_2=2 \) die geometrische Vielfachheit \( 1 \) haben und wir bekommen somit auch hier genau einen Jordanblock.

Man kann sich jetzt noch überlegen, dass der Jordanblock zu \( \lambda_1=-1 \) die Größe \( 1 \) haben muss. Somit muss dann der Jordanblock zu \( \lambda_2=2 \) die Größe \( 2 \) haben und wir erhalten insgesamt die Jordansche Normalform
\( J_A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)
Und dies liefert uns nun das gewünschte Beispiel.

Hi,
bei dieser Aufgabe solltest du folgenden Satz im Hinterkopf haben:
Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn die algebraische Vielfachheiten (Vielfachheiten der Nullstellen des charakteristischen Polynoms) gleich den geometrischen Vielfachheiten (Dimensionen der Eigenräume) entsprechen.
Da die Dimension der Eigenräume immer mindestens \(1\) ist und das charakteristische Polynom eine einfache Nullstelle bei \( t=-1\) hat, braucht man einen eindimensionalen Eigenraum zum Eigenwert \(-1\). Diesen erhält man z.B. durch einen \(1\times 1\)-Block \( \left( 1\right) \) auf der Diagonalen. Somit hat \(A\) die Gestalt
\[ A= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & B\end{pmatrix}\]
mit einer \(2\times 2\) Matrix \(B\).
Nun benötigen wir noch einen eindimensionalen Eigenraum zum Eigenwert \(t=2\). Zusätzlich muss dieser Eigenwert die algebraische Vielfachheit zwei haben.
Eine Möglichkeit für die Matrix
\[B=\begin{pmatrix} a & b\\ c& d\end{pmatrix}\]
eine zweifache Nullstelle im charakteristischen Polynom von \(B\) zu erzwingen, ist es \(a=d=2\) und \(c =0\) zu setzen (rechne mal das charakteristische Polynom aus, dann sieht man, dass das eine mögliche Wahl ist).
Des Weiteren muss der Eigenraum \( E_2\) zum Eigenwert \( 2\) eindimensional sein. Also muss das Gleichungssystem \( Bv= 2v\), äquivalent
\[ \begin{pmatrix} 2-2 & b \\ 0 & 2-2\end{pmatrix} v = 0\]
einen eindimensionalen Lösungsraum haben. Das funktioniert nur für \( b\neq 0\).
Ich hoffe das hilft dir weiter.