Normalenform, Ebene

Aufrufe: 231     Aktiv: 14.06.2023 um 16:50
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Die Normalenform einer Ebene hat ja die Gestalt $E:\left(\vec{x}-\vec{p}\right)\cdot \vec{n}=0$. Dabei ist $\vec{n}$ ein Normalenvektor, der orthogonal zur Ebene steht und $\vec{p}$ ein Ortsvektor eines beliebigen Punktes $P$ der Ebene. Jetzt stellt man sich die Frage, welche Punkte $X$ mit zugehörigem Ortvektor $\vec{x}$ diese Gleichung erfüllen. Dazu überlegen wir uns, was diese Gleichung beschreibt: 

1. Hier wird das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{x}-\vec{p}$ und $\vec{n}$ berechnet. 
2. Dieses Skalarprodukt soll gleich 0 sein, das bedeutet, dass die Vektoren $\vec{x}-\vec{p}$ und $\vec{n}$ orthogonal zueinander sind. 
3. Der Vektor $\vec{x}-\vec{p}$ ist aber gerade der Verbindungsvektor zwischen den Punkten $P$ und $X$, also $\vec{x}-\vec{p}=\overrightarrow{PX}$.

Interpretation: Alle Punkte $X$, deren Verbindungen mit $P$ orthogonal zum Vektor $\vec{n}$ sind, erfüllen die Ebenengleichung. Das sind aber gerade diejenigen Punkte, die mit $P$ in einer Ebene liegen und zwar derjenigen Ebene, die so geneigt ist, dass $\vec{n}$ orthogonal zu dieser Ebene steht. Das kann man sich anschaulich sehr leicht klarmachen. Häufig findet man in den entsprechenden Schulbüchern auch eine Skizze dazu.
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Vielen lieben Dank sehr sehr hilfreich!!   ─   user885769 14.06.2023 um 16:49

Das freut mich. :)   ─   cauchy 14.06.2023 um 16:50

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